专题29几何综合压轴问题（共50题）-2020年中考数学真题分项汇编（解析版）【人教版】.docx

2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）
专题29几何综合压轴问题【共50题】
一．解答题（共50小题）
1．（2020•天水）性质探究
如图（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为　3：1　．
理解运用
（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+23，则它的面积为　3　；
（2）如图（2），在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH，在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求线段MN的长．
类比拓展
顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　2sinα：1　．（用含α的式子表示）
【分析】性质探究：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．解直角三角形求出AB（用AC表示）即可解决问题．
理解运用：①利用性质探究中的结论，设CA＝CB＝m，则AB=3m，构建方程求出m即可解决问题．
②如图2中，连接FH．求出FH，利用三角形中位线定理解决问题即可．
类比拓展：利用等腰三角形的性质求出AB与AC的关系即可．
【解析】性质探究：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．
∵CA＝CB，∠ACB＝120°，CD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，
∴AB＝2AD＝2AC•cos30°=3AC，
∴AB：AC=3：1．
故答案为3：1．
理解运用：（1）设CA＝CB＝m，则AB=3m，
由题意2m+3m＝4+23，
∴m＝2，
∴AC＝CB＝2，AB＝23，
∴AD＝DB=3，CD＝AC•sin30°＝1，
∴S△ABC=12•AB•CD=3．
故答案为3．
（2）如图2中，连接FH．
∵∠FGH＝120°，EF＝EG＝EH，
∴∠EFG＝∠EGF，∠EHG＝∠EGH，
∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH＝120°，
∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH＝360°，
∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∵EF＝EH，
∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形，
∴FH=3EF＝203，
∵FM＝MG．GN＝GH，
∴MN=12FH＝103．
类比拓展：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．
∵CA＝CB，∠ACB＝2α，CD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝α
∴AB＝2AD＝2AC•sinα
∴AB：AC＝2sinα：1．
故答案为2sinα：1．
2．（2020•青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．
特例感知：
（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明．
猜想论证：
（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
联系拓展：
（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）
【分析】（1）证明△FAB≌△GAC即可解决问题．
（2）结论：CG＝DE+DF．利用面积法证明即可．
（3）结论不变，证明方法类似（2）．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠CAG，AB＝AC，
∴△FAB≌△GAC（AAS），
∴FB＝CG．
（2）解：结论：CG＝DE+DF．
理由：如图2中，连接AD．
∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，
∴12•AB•CG=12•AB•DE+12•AC•DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
（3）解：结论不变：CG＝DE+DF．
理由：如图3中，连接AD．
∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，
∴12•AB•CG=12•AB•DE+12•AC•DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
3．（2020•河北）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC=34．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．
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