人教版初中数学专题04 一元二次方程及应用（解析版）.doc

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专题04一元二次方程及应用
【考点1】一元二次方程的根的求值问题
【例1】（2020·甘肃金昌·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．-1或2 B．-1 C．2 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
首先把x=1代入，解方程可得m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得m的值
【详解】
解：把x=1代入得：
=0，
，
解得：m1=2，m2=﹣1
∵是一元二次方程，
∴ ，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0．
【变式1-1】（2020·四川内江·中考真题）已知关于x的一元二次方程有一实数根为，则该方程的另一个实数根为_____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入原方程得到关于m的一元二次方程，解得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
【详解】
解：把x=-1代入得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4，
∵(m-1)2≠0，
∴m1．
∴m=4.
∴方程为9x2+12x+3=0.
设另一个根为a,则-a=.
∴a=-.
故答案为: -．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．
【变式1-2】（2020·银川唐徕回民中学初三二模）已知x=1是一元二次方程x²+ax+b=0的一个根，则代数式a²+b²+2ab的值是____________.
【答案】1
【解析】
【分析】
把x=1代入x2+ax+b=0得到1+a+b=0，易求a+b=-1，将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】
∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，
∴12+a+b=0，
∴a+b=﹣1.
∴a2+b2+2ab=（a+b）2=（﹣1）2=1.
【考点2】配方法解一元二次方程
【例2】（2020·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
【详解】
解：
移项得，
二次项系数化1的，
配方得
即
故选：A
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【变式2-1】（2020·山东泰安·中考真题）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
【答案】A
【解析】
【分析】
根据配方法步骤解题即可．
【详解】
解：
移项得，
配方得，
即，
∴a=-4，b=21．
故选：A
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
【考点3】因式分解法解一元二次方程
【例3】（2020·山东威海·中考真题）一元二次方程的解为__________．
【答案】x=或x=2
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解法解出答案即可．
【详解】
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x=,
故答案为:x=或x=2．
【点睛】
本题考查解一元二次方程,本题关键在于分情况讨论．
【变式3-1】（2019•十堰）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝　 　．
【答案】﹣3或4
【解析】根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，
（2m﹣1）2﹣49＝0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，
2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，
所以m1＝﹣3，m2＝4．
故答案为﹣3或4．
点睛:本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【变式3-2】（2020·湖南中考真题）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣