人教版专题45：第8章几何中的最值问题之四边形的面积-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

45第8章几何中的最值问题之四边形的面积
一、单选题
1．如图，等边△ABC 的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，有下列结论：①CP与QD可能相等；②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为；④四边形PCDQ周长的最小值为．其中，正确结论的序号（　　）

A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
【答案】D
【分析】根据图象法可判断①；②当∠ADQ=∠CPB时，△AQD与△BCP相似；③设AQ=x，则四边形的面积=S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP，当x取最大值时可得结论；④如图，作点D关于AB的对称点D’，作D’F∥PQ，使得D’F=PQ，连接CF交AB于点P’，此时四边形P’CD’Q’的周长最小，求出CF的长即可判断.
【解答】①利用图象法可得PC＞DQ，故①错误；
②∵∠A=∠B=60°，
∴当∠ADQ=∠CPB时，△AQD与△BCP相似，故②正确；
③设AQ=x，则S四边形PCDQ= S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP=，
∵x的最大值为，
∴四边形PCDQ面积的最大值为，故③正确；
④如图，作点D关于AB的对称点D’，作D’F∥PQ，使得D’F=PQ，连接CF交AB于点P’，此时四边形P’CD’Q’的周长最小，
过点C作CH⊥D’F交D’F的延长线于H，交AB于J，
由题意可得，DD’=2AD·sin60°=，,，
∴，
∴，
∴，
∴四边形P’CD’Q’的周长最小最值=，故④错误.
故选D.
【点评】本题主要考查相似三角形的判断与性质，锐角三角函数，轴对称最短路径问题等，综合性较强，属于中考常考题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
二、填空题
2．已知，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，且AC+BD＝10，当AC＝_______时，四边形ABCD的面积最大，最大值为__________．
【答案】5 12.5
【分析】根据已知设四边形ABCD面积为S，AC为，则，进而求出，再求出最值即可．
【解答】解：设，四边形ABCD面积为S，则，
则：，
∵，
∴S有最大值，
当时，四边形ABCD的面积最大，
即当时，四边形ABCD面积最大，
，
故答案为：5，12.5．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知正确得出二次函数关系是解题关键．
3．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为_____．
【答案】4．
【分析】连接BO并延长交AC于E，交于D，根据垂径定理得到点D到AC的距离最大，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】连接BO并延长交AC于E，交于D，连接AD、CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，
∴，
∴OE⊥AC，点D为的中点，
此时点D到AC的距离最大，
∴△ADC的面积最大，即以A、B、C、D为顶点的四边形的面积最大，
在Rt△BAD中，∠ABD＝30°，
∴AD＝BD＝2，
由勾股定理得，AB＝＝2，
∴以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积＝×2×2×2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质，掌握垂径定理、等边三角形的性质是解题的关键．
4．已知AB为半圆的直径，AB＝2，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成的图形的面积的最大值是_____．
【答案】2+
【分析】五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积只要求出△CDP面积的最小值，作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP的面积最小．
【解答】解：∵五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积，
∴只要求出△CDP面积的最小值，
作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，
易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP的面积最小，
易知AD＝2，
∵四边形ABCD的面积＝（1+3）×2＝4＝×1×1+•AD•OH+•1•3，
∴OH＝，
∴PH＝﹣11，
∴△CAD的面积最小值为2﹣，
∴五边形ABCDP面积的最大值是4﹣（2﹣）＝2+．
故答案为2+．
【点评】本题主要考查了求解多边形的面积知识点，结合圆的切线的性质进行求解是解题的重要步骤．
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