人教版考点15 等腰三角形与直角三角形-备战2020年中考数学考点一遍过.docx

考点15 等腰三角形与直角三角形
一、等腰三角形
1．等腰三角形的性质
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
2．等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
二、等边三角形
1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．
2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
三、直角三角形与勾股定理
1．直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：（1）直角三角形两锐角互余；
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
2．勾股定理及逆定理
（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
考向一 等腰三角形的性质
1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．
3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a．
5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．
典例1 （2020·四川省武胜县万善初级中学初二月考）等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为
A．40°，100° B．70°，70°
C．60°，80° D．40°，100°或70°，70°
【答案】D
【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°；
②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°．
所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D．
【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．
典例2 （2019·***市实验中学初二期末）如图，在中，AB=AC，D是BC的中点，下列结论不正确的是
A．ADBC B．∠B=∠C
C．AB=2BD D．AD平分∠BAC
【答案】C
【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，
A．AD⊥BC，故A选项正确；
B．∠B=∠C，故B选项正确；
C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；
D．AD平分∠BAC，故D选项正确．
故选C．
【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.
1．（2020·自贡市田家炳中学初二期中）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.
考向二 等腰三角形的判定
1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．
2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．
典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．
求证：△AEF是等腰三角形．
【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．
又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，
∴∠FEA=∠F，
∴△AEF是等腰三角形．
2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．
（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．