人教版初中数学专题11 四边形问题（解析版）.doc

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专题11 四边形问题
【考点1】多边形的内角和与外角和
【例1】（2020·湖北宜昌·中考真题）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行．成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）．
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D．每段直路要长
【答案】A
【分析】
根据题意可知封闭的图形是正五边形，求出正五边形内角的度数即可解决问题．
【详解】
根据题意可知，从起点走五段相等直路之后回到起点的封闭图形是正五边形，
∵正五边形的每个内角的度数为：
∴它的邻补角的度数为：180°-108°=72°，
因此，每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了求正多边形内角的度数，掌握并能运用多边形内角和公式是解题的关键．
【变式1-1】（2020·内蒙古赤峰·中考真题）一个边形的内角和是它外角和的4倍，则______．
【答案】10
【分析】
利用多边形的内角和公式与外角和公式，根据一个n边形的内角和是其外角和的4倍列出方程求解即可．
【详解】
多边形的外角和是360°，根据题意得：
，
解得：．
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和公式及外角的性质．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
【变式1-2】（2020·山东烟台·中考真题）若一个正多边形的每一个外角都是40°，则这个正多边形的内角和等于 ．
【答案】1260°
【解析】
∵一个多边形的每个外角都等于40°，
∴多边形的边数为360°÷40°=9，
∴这个多边形的内角和=180°×（9-2）=1260°
【考点2】平行四边形的判定与性质的应用
【例2】（2020·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，且，求的长
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）通过证明△AOM和△CON全等，可以得到，又因为，所以可以证明四边形为平行四边形；
（2）根据，从而可以证明平行四边形是菱形，得到，再使用勾股定理计算出BN的长度，从而可以得到DM的长度．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴，
∴
在△AOM和△CON中
∴△AOM△CON
∴
又∵
∴四边形为平行四边形．
（2）∵四边形为平行四边形
∵
∴平行四边形是菱形
∴
∵
设BN的长度为x
在Rt△ABN中，，
∴
【点睛】
（1）本题主要考查了如何证明平行四边形，明确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键；（2）本题主要考查了菱形的证明以及勾股定理的应用，知晓对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键．
【变式2-1】（2020·四川中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝_____．
【答案】2
【分析】
根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解∠CBE=∠BEC，即可得CB=CE，利用等腰三角形的性质得到BF=EF，进而可得GF是△ABE的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
【详解】
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BEC，
∴CB=CE．
∵CF⊥BE，
∴BF=EF．
∵G是AB的中点，
∴GF是△ABE的中位线，
∴GF=AE，
∵AE=4，
∴GF=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明GF是△ABE的中位线是解题的关键．
【变式2-2】（2020·四川广元·中考真题）已知，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：；
（2）若，的面积为2，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）16.
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由ASA即可得出结论；
（2）由于，O为对角线AC的中点，得出△AEO∽△ADC，根据的面积为2，可得△ADC的面积，进而得到的面积．
【详解】
解：（1）∵四边