人教版题型七 综合实践题-2020年中考数学第二轮重难题型突破（解析版）.doc

题型七 综合实践题
例1．【问题情境】
已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是线段AC上的一个动点(不与A、C重合)，以CE为一边作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，且CD＝CA.沿CA方向平移△CDE，使点C移动到点A，得到△ABF.过点F作FG⊥BC，交线段BC于点G，连接DG、EG.
【深入探究】
(1)如图①，当点E在线段AC上时，小文猜想GC＝GF，请你帮他证明这一结论；
(2)如图②，当点E在线段AC的延长线上，且CE＜CA时，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
【拓展应用】
(3)如图③，将(2)中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”，若设∠CDE＝α，请用含α的式子表示∠CGE的度数(直接回答即可，不必证明)．
第1题图
【答案】(1)证明：∵在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BCA＝∠ABC＝45°，
∵FG⊥BC，
∴∠FGC＝90°，∴∠GFC＝90°－∠GCF＝45°，
∴∠GFC＝∠GCF，
∴GC＝GF；
(2)解：DG＝EG，DG⊥EG；
证明：同(1)可证GC＝GF，
∵∠DCE＝90°，∠BCA＝45°，
∴∠DCG＝45°，
∵∠GFC＝45°，
∴∠DCG＝∠EFG，
∵△CDE平移得到△ABF，
∴CE＝AF，∴CE＋CF＝AF＋CF，即EF＝AC，
∵AC＝CD，∴EF＝CD，∴△DCG≌△EFG(SAS)，
∴DG＝EG，∠DGC＝∠EGF，
∴∠DGC－∠EGC＝∠EGF－∠EGC，
即∠DGE＝∠CGF＝90°，
∴DG⊥EG；
(3)解：∠CGE＝180°－α.
例2．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在直线CD上(不与点C、D重合)，连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH.
【问题发现】
(1)如图①，若点P在线段CD上，AH与PH的数量关系是________，位置关系是________；
【拓展探究】
(2)如图②，若点P在线段CD的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由；
【解决问题】
(3)若点P在线段DC的延长线上，且∠AHQ＝120°，正方形ABCD的边长为2，请直接写出DP的长度．
第2题图
【答案】解：(1)AH＝PH，AH⊥PH；
【解法提示】如解图①，连接HC，
第2题解图①
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，
又∵QH⊥BD，
∴△DHQ是等腰直角三角形，
∴HD＝HQ，∠HDP＝∠HQC＝45°，
由平移的性质可知DP＝CQ，
在△HDP和△HQC中，，
∴△HDP≌△HQC.
∴HP＝HC，∠DHP＝∠QHC.
根据正方形是轴对称图形得到HA＝HC，∠AHD＝∠CHD，
∴∠AHP＝∠AHD＋∠DHP＝∠CHD＋∠QHC＝90°，即AH⊥PH.
∴HA＝HP，AH⊥PH.
(2)(1)中的结论仍然成立，
理由如下：如解图②，连接HC，
第2题解图②
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，
又∵QH⊥BD，
∴△DHQ是等腰直角三角形，∴∠HDP＝∠HQC＝135°，HD＝HQ，由平移的性质可知DP＝CQ，
在△HDP和△HQC中，，
∴△HDP≌△HQC(SAS)，
∴HP＝HC，∠DHP＝∠QHC，
根据正方形是轴对称图形得到HA＝HC，∠AHD＝∠CHD，
∴∠AHP＝∠AHD－∠DHP＝∠CHD－∠CHQ＝90°，
∴HA＝HP，AH⊥PH；
(3)DP＝2.
【解法提示】由(1)知，AH＝PH，AH⊥PH，
∴∠HPA＝45°，
∵∠AHQ＝120°，
∴∠PHQ＝120°－90°＝30°.
∴∠PHD＝∠QHD－∠PHQ＝60°，∠AHB＝∠CHB＝∠AHP－∠PHD＝30°，
∴∠CHP＝∠CHB＝∠AHB＝30°，
∴∠CPH＝＝75°，
∴∠APD＝∠CPH－∠APH＝30°，在Rt△ADP中，AD＝2，
∴DP＝＝2.
例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ.
(1)如图①，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系；
(2)如图②，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；