人教版专题6 最短路径—将军饮马问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc

专题六：最短路径——将军饮马问题探究
专题导例
如图，在周长为12的菱形ABCD中，DE＝1，DF＝2，若P为对角线AC上一动点，则EP+FP的最小值为　 　．
【分析】作F点关于BD的对称点F′，连接EF′交BD于点P，则PF＝PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的。
方法剖析
直线l上找一动点P,使得PA+PB之和最短，就是我们熟知的“将军饮马”模型
（1）“两定一动型”----两个定点+一个动点
问题：在直线/上找一点P，使得PA＋PB的值最小

解析：点A作关于l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点即为点P，此时PA＋PB的最小值即为线段BA′的长度．
（2）如图，已知点P为定点，定长线段AB在直线MN上运动，在什么位置时，PA＝PB最小？

解析：思维转化：将线段AB移动，点P不动，理解为线段AB不动，点P在直线CD上移动，将模型转化为最基本模型
(3)两点之间线段最短的应用一般股以下类型，构建“对称模型”实现转化
导例答案：解：作F点关于BD的对称点F′，则PF＝PF′，连接EF′交BD于点P．
∴EP+FP＝EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP＝EP+F′P＝EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，
∵AF＝2，AE＝1，
∴DF＝AE＝1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′＝AD＝3．
∴EP+FP的最小值为3．
故答案为：3
典例剖析
类型一：一线两定点形成的最短路径型
例1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，)，点C的坐标为(，0)，点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为　　　　　．
　
【分析】：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA＋PC的值最小，
类型二：一定点与两直线上的动点形成的路径最短型
例2.如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为　 　．
【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，此时△COD是等边三角形，求得三角形PMN和△COD的面积，根据四边形PMON的面积为：（ S△COD+S△PMN）求得即可．
类型三：“两定点＋两定直线”型
例3.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E，F分别为边AB，AD的中点，点M，N分别为BC，CD上的动点，求四边形EFNM周长的最小值．
【方法剖析】
问题
作法
图形
原理
在直线l1，l2上分别求点M，N，使四边形PQMN的周长最小
分别作点Q，P关于直线l1，l2的对称点Q′和P′，连接Q′P′，与两直线交点即为M，N
两点之间，线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段P′Q′＋PQ的长。
类型四：“两定点＋一定直线”型
例4．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是线段AC上的一点，M是线段AD上的一点，AE＝2，求EM＋MC的最小值．
【方法剖析】
问题
作法
图形
原理
在直线l上求一点P，使PA＋PB的值最小
连接AB，与直线l的交点即为点P
两点之间，线段最短，PA＋PB的最小值为AB
在直线l上求一点P，使PA＋PB的值最小
作B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为P(也可作点A关于直线l的对称点)
两点之间，线段最短，PA＋PB的最小值为AB′
专题突破
1.在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F、P分别是边AB、BC、AC上的动点，PE＋PF的最小值是　　　　．　　　
2.如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．
3.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N．
(1)当△AMN的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝　　　　；
(2)求△AMN的周长最小值．
4．如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为