人教版专题09：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之斜边上的中线-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）.doc

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专题09：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之斜边上的中线
一、填空题
1．如图，在中，∠B=60°，CD 为AB 边上的高，E 为AC 边的中点，点 F 在BC 边上，∠EDF=60°，若 BF=3，CF=5，则AC边的长为 ．
二、解答题
2．如图，在中，，，点D为斜边的中点，，的顶点E，F分别在边，上，求的长．
3．如图，在中，是的中点，点E在上，点F在上，且．求证：．
4．如图，在中，，O为的中点，D，E分别在上，且．求证：．
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5．如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F.
（1）若AB=2,AD=3,求EF的长；
（2）若G是EF的中点,连接BG和DG,求证：DG=BG.
6．如图所示，中，，于，于，求证：.
7．如图所示，中，，延长到，使，点是的中点，求证：.
8．如图所示，在中，于，于，点，分别是，的中点，求证：.
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9．如图所示，中，为的中点，为上一点，于点，连结．求证：．
10．如图，正方形ABCD中，对角线AC上有一点P，连接BP、DP，过点P作PE⊥PB交CD于点E，连接BE．
（1）求证：BP=EP；
（2）若CE=3，BE=6，求∠CPE的度数；
（3）探究AP、PC、BE之间的数量关系，并给予证明．
参考答案
1．
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理得出，再根据等边三角形的判定与性质得出，然后根据三角形的中位线定理、平行线的性质得出，从而可得，，最后根据三角形全等的判定定理与性质得出，据此根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．
【详解】
如图，过点D作于点G
在中，，
在中，，
，
取BC的中点H，连接DH、EH
是等边三角形
点E是AC边的中点
EH是的中位线
又，
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在和中，
则在中，，即
故答案为：．
【点评】
本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、三角形的中位线定理等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键．
2．6
【解析】
【分析】
连接，由，得，由点D是斜边的中点，得到，且，，等量代换得到，在和中由AAS证得， 故，即可得解.
【详解】
连接，
∵，，
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∴，
∵点D是斜边的中点，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴.
【点评】
此题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质.正确作出辅助线是解决此题的关键.
3．详见解析
【解析】
【分析】
首先可判断△ABC是等腰直角三角形，连接CD，根据全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，再利用全等三角形的性质即可证明结论成立．
【详解】
证明：如图，连接．
，
是等腰直角三角形，
．
为的中点，
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平分．
，
．
在和中，
，
，
．
，
，即．
【点评】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用等腰直角三角形的性质得出证明全等需要的条件，难度一般．
4．证明见解析．
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据等腰三角形的三线合一可得，，从而可得，再根据等腰三角形的定义可得，然后根据角的和差、等量代换可得，最后根据三角形全等的判定定理与性质可得，据此根据线段的和差即可得证．
【详解】
如图，连接，
∵，O为的中点，
∴，（等腰三角形的三线合一），
∵，
∴，
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∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点评】
本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
5．（1）EF＝；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由AE平分∠BAD，可得∠DAF＝45°，从而∠F＝45°，可证△ADF，△ECF都是等腰直角三角形，求出CF的长，最后根据勾股定理即可求出EF的长；
（2）连结CG，易证∠BEG＝∠DCG＝135°，根据“SAS”可证△BEG≌△DCG，从而可得DG＝BG.
【详解】
解：