人教版专题21：第4章解三角形之一字型-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

21第4章解三角形之一字型
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是(　　)
A．海里 B．海里 C．120海里 D．60海里
【答案】B
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥AB于点D，先解Rt△ACD，求出AD，CD，再根据BD=CD，即可解出AB．
【详解】
如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则∠ACD=30°，∠BCD=45°，
在Rt△ACD中，AD=CA=×60=30（海里），
CD=CA·cos∠ACD=60×=（海里），
∵∠BCD=45°，∠BDC=90°，
∴在Rt△BCD中，BD=CD，
∴AB=AD+BD=AD+CD=（30+）海里，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解一般三角形的问题，一般可以转化为解直角三角形的问题，解题的关键是作高线．
2．如图，港口在观测站的正东方向，，某船西东从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=1，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=1，则AB=AD=2．
【详解】
如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=2，
∴AD=OA=1．
在Rt
△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，
∴BD=AD=1，
∴AB=AD=．
即该船航行的距离（即AB的长）为km．
故选：C．
【点睛】
此题考查解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
3．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（ ）
A．160米 B．（60+160） C．160米 D．360米
【答案】C
【解析】
【分析】
过点A作AD⊥BC于点D.根据三角函数关系求出BD、CD的长，进而可求出BC的长.
【详解】
如图所示，过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AD＝120m，BD＝AD∙tan30°＝120×＝m；
在Rt△ADC中，∠DAC＝60°，CD＝AD∙tan60°＝120×＝m.
∴BC＝BD＋DC＝m.
故选C.
【点睛】
本题主要考查三角函数，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的有关知识，并牢记特殊角的三角函数值.
4．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角度数为α，看这栋楼底部C处的俯角度数为β，热气球A处与楼的水平距离为100m，则这栋楼的高度表示为（ ）
A．100(tanα+tanβ)m B．100(sinα+sinβ)m C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
过点A作AH⊥BC于点H，利用解直角三角形分别求出BH，CH的长，再根据BC=BH+CH，代入计算可求出BC的长.
【详解】
过点A作AH⊥BC于点H，
∴∠AHB=∠AHC=90°，
在Rt△ABH中，
BH=AHtan∠BAH=100tanα；
在Rt△ACH中，
CH=AHtan∠CAH=100tanβ；
∴BC=BH+CH=100tanα+100tanβ=100（tanα+tanβ）m.
故选：A.
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确确定直角三角形是解题的关键.
二、填空题
5．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．
【答案】20
【解析】
【分析】
过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．
【详解】
如图，过点A作AC⊥BD，
依题意可得∠ABC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)
∴A