人教版初中数学专题11 一元二次方程及其应用（解析版）.docx

专题11 一元二次方程及其应用
1．一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
2．一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3．一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
4．一元二次方程的解法
（1）直接开方法：适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
（2）配方法：套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①将已知方程化为一般形式；
②化二次项系数为1；
③常数项移到右边；
④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
（3）公式法：
当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
其中：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。
①Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。
，
②Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
③Δ=b2-4ac＜0时，方程无实数根。
定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。
（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。
5.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数；
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程；
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法；
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
【例题1】（2020•临沂）一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（　　）
A．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2
C．x1＝2+2，x2＝2﹣2 D．x1＝23，x2＝﹣2
【答案】B
【分析】方程利用配方法求出解即可．
【解析】一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0，
移项得：x2﹣4x＝8，
配方得：x2﹣4x+4＝12，即（x﹣2）2＝12，
开方得：x﹣2＝±2，
解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2．
【对点练****2019•浙江金华）用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是（    ）
A. (x-3)2=17     B. (x-3)2=14      C. （x-6)2=44     D. (x-3）2=1
【答案】A
【解析】配方法解一元二次方程
∵x2-6x-8=0，
∴x2-6x+9=8+9，
∴（x-3）2=17.
【点拨】本题体现直接配方法解一元二次方程。
【对点练****2019年山东省威海市）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是　　．
【答案】x1＝，x2＝．
【解析】直接利用公式法解方程得出答案．
3x2＝4﹣2x
3x2+2x﹣4＝0，
则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，
故x＝，
解得：x1＝，x2＝．
【点拨】本题体现求根公式法解一元二次方程。
【例题2】（2020•菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．3或4 D．7
【答案】C
【分析】当3为腰长时，将x＝3代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式△＝0，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意．
【解析】当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，此时两腰之和为4，4＞3，符合题意．
∴k的值为3或4．
【对点练****2019内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一