人教版初中数学专题17 全等三角形判定与性质定理（解析版）.docx

专题17 全等三角形判定与性质定理
1.基本概念
（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （注意对应的顶点写在对应的位置上）
（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.
（4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.
（5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.
2．全等三角形的表示
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
4．三角形全等的判定定理
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
（4）角角边定理：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成AAS）.
5．直角三角形全等的判定：
HL定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
【例题1】（2020•甘孜州）如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（　　）
A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC
【答案】B
【解析】利用等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，
∴当AD＝AE时，则根据“SAS”可判断△ABE≌△ACD；
当∠AEB＝∠ADC，则根据“AAS”可判断△ABE≌△ACD；
当∠DCB＝∠EBC，则∠ABE＝∠ACD，根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD．
【对点练****如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　）
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC
【答案】C．
【解析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
A．∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B．∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C．∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，本选项正确；
D．AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误。
【例题2】（2020•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是　 　（写出一个即可）．
【答案】BD＝CD．
【解析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．
∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACD，
添加BD＝CD，
∴在△ABD与△ACD中
AB=AC∠ABD=∠ACDBD=CD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
【对点练****2019齐齐哈尔）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是　　 （只填一个即可）．
【答案】AB＝DE．
【解析】添加AB＝DE；
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SAS）
【例题3】（2020•菏泽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．
【答案】见解析。
【解析】由“AAS”可证△ABC≌△AED，可得AE＝AB，AC＝AD，由线段的和差关系可得结论．
证明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴AE＝AB，AC＝AD，
∴CE＝BD．
【对点练****如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF