人教版专题11：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之过端点向中线做垂线-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）.doc

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专题11：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之过端点向中线作垂线
一、解答题
1．如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.
2．如图，在中，，，，，延长交于.求证：.
3．如图，是的中线，于.于，
（1）求证：；（2）若，，求的长．
4．如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.
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求证：BF＝AC．
参考答案
1．详见解析
【解析】
【分析】
分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案.
【详解】
如图，过点C作于点G，过点D作的延长线于点F，
则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°，
又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC，
∴，
∴DF=CG，.
又，
∴≌，
.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.
2．详见解析
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【解析】
【分析】
如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可得答案.
【详解】
如图，过点D作的延长线于点G，
，
，
，
又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD，
∴，
，
又∵BC=BE，
，
又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG，
∴，
∴EF=DF.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
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3．（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
先证明DE=DF；
(1)在中，由垂线段最短可得，即，①，在中，同理可得，即，②，①+②整理后即可得结论；
(2)， ，可得，继而可得答案.
【详解】
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，
又∠BDE＝CDF
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴DE=DF；
(1)在中，，即，①
在中，，
即，②
①+②得，，
即；
(2)，①，，②
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①+②得，，
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，正确运用数形结合思想是解题的关键.
4．证明见解析
【