人教版初中数学第8关 以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题（解析版）.docx

第八关 以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题
【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学****以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题主要考查了学生的数形结合能力及综合分析问题的能力，这类问题主要是以一点（或以一条线段）为依托，动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素,构造动态型几何问题。解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决。此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性。
【解题思路】等腰三角形的存在性的解题方法：（1）几何法三步法：①假设结论成立；②找点，当所给的定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：a.当定长为腰时，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求点；若所画弧与坐标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；b.当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点时，交点即为所求的点；若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，满足条件的点不存在；（以上方法即可找出所有符合条件的点，该方法简称为“两圆一线”）；散计算：在求点的坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，也可以通过添加辅助线构造相似三角形，有时也可以利用勾股定理进行求解；（2）代数法三步：①罗列三边；②分类列方程；③解方程求解后检验．在以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题中，这两种方法往往结合使用.
【典型例题】
【例1】（2019·山东中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，抛物线的对称轴是直线.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在第二象限内，且，求的面积．
（3）在（2）的条件下，若为直线上一点，在轴的下方，是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，
【解析】
【分析】
(1)由抛物线的对称性结合点A的坐标可得点，由此可设函数的表达式为：，继而根据点C的坐标即可求解；
(2)先求出BC的解析式，设点，则OD=-x，点，点，表示出PE的长，继而根据可得关于x的方程，解方程求得x的值后进而可求得PE、BD的长，然后利用三角形面积公式进行计算即可；
(3)根据题意，在x轴下方，是以为腰的等腰三角形，只存在：的情况，由此可得BM=BD=1，求出的值，继而设M的坐标为(xM，yM)，利用解直角三角形的知识即可求得，进而求出，由此即可得.
【详解】
(1)点的坐标是，抛物线的对称轴是直线，则点，
所以设函数的表达式为：，
将点C(0，-2)代入得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
(2)设直线BC的解析式为y=mx+n，
将点(-4，0)、(0，-2)分别代入得，
解得：，
所以直线的表达式为：，
设点，则OD=-x，点，点，
∴PE=，
∵，
∴=，
解得：或x=-5(舍去)，
∴点，
∴PE=，BD=-4-(-5)=1，
∴；
(3)由题意得：在x轴下方，是以为腰的等腰三角形，只存在：的情况，
∴BM=BD=1，
∵(-4，0)、(0，-2)，
∴OB=4，OC=2，
∵∠BOC=90°，∴BC==，
∴ ，
设M的坐标为(xM，yM)，
则，
则，
故点.
【名师点睛】
本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合题，解题的关键要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
【例2】（2019·四川中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的横坐标；
(3)如图2，连接、，点在线段上(不与、重合)，作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；(2)点的横坐标为；(3)AN=1或.
【解析】
【分析】
(1)根据和点可得抛物线的