人教版初中数学第11关 以二次函数与图形的面积、周长及线段的数量问题为背景的解答题（解析版）.docx

第十一关 以二次函数与图形的面积、周长及线段的数量问题为背景的解答题
【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学****构造二次函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解.
【解题思路】
1、用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量（如周长、长、宽、半径等）。 2、根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，用函数表示这个面积。
3、根据函数关系式求出最大值及取得最大值的自变量的值，当要求的值不在自变量的取值范围内时，应根据取值范围来确定最大值。
【典型例题】
【例1】（2019·湖南中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点在线段（点不与重合）上运动至何处时，线段的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点，连接．请问：的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）时，线段有最大值．最大值是；（3）时，的面积有最大值，最大值是，此时点的坐标为．
【解析】
【分析】
（1）将点的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）设，则，由得出比例线段，可表示的长，利用二次函数的性质可求出线段的最大值；
（3）过点作轴交于点，由即可求解．
【详解】
解：（1））∵抛物线经过，，
把两点坐标代入上式，，
解得：，
故抛物线函数关系表达式为；
（2）∵，点，
∴，
∵正方形中，，
∴，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴时，线段长有最大值，最大值为．
即时，线段有最大值．最大值是．
（3）存在．
如图，过点作轴交于点，
∵抛物线的解析式为，
∴，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴时，的面积有最大值，最大值是，此时点的坐标为．
【名师点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系．利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
【例2】（2019·江苏中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为，点D的坐标为．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且，求点E的坐标．
（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得的面积是的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）点E的坐标为；（3）存在，点G的坐标为或.
【解析】
【分析】
（1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求
（2）可通过点B，点D求出线段BD所在的直线关系式，点E在线段BD上，即可设点E的坐标，利用点与点的关系公式，通过即可求
（3）先求线段AD所在的直线解析式，求利用点到直线的公式，即可求与的高，利用三角形面积公式即可求．
【详解】
（1）依题意，设二次函数的解析式为
将点B代入得，得
∴二次函数的表达式为：
（2）依题意，点，点，设直线BD的解析式为
代入得，解得
∴线段BD所在的直线为，
设点E的坐标为：
∴
∵
∴
整理得
解得，（舍去）
故点E的纵坐标为
∴点E的坐标为
（3）存在点G，
设点G的坐标为
∵点B的坐标为，对称轴
∴点A的坐标为
∴设AD所在的直线解析式为
代入得，解得
∴直线AD的解析式为
∴ AD的距离为5
点G到AD的距离为：
由（2）知直线BD的解析式为：，
∵BD的距离为5
∴同理得点G至BD的距离为：
∴
整理得
∵点G在二次函数上，
∴