人教版初中数学专题51 勾股定理的多种证明方法（解析版）.docx

专题51 勾股定理的多种证明方法
勾股定理具体内容是：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
历史上证明勾股定理有很多方法，每种方法都含有科学思维、科学探究的过程，每一种证明方法都利用数学观念，数学知识。每一种方法都体现一名数学家为科学付出的情怀。在证明勾股定理的长河中，参与的人有的是学者，有的是著名的科学家，还有的是政治家，比如总统。通过学****勾股定理的证明，可以品味各种拼图，方法各异，妙趣横生，证明思路别具匠心，极富创新。它们充分运用了几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，深刻体现了形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特魅力。
勾股定理是对社会有重大影响的10大科学发现之一。早在4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种，各种证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力。
数学故事：在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德（Garfield）．他发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在谈论着什么．由于好奇心的驱使，伽菲尔德向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
【例题1】如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
【答案】见解析。
【解析】用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按下图拼法。
根据正方形面积公式得大正方形面积为：
S=（a+b）2………
这个大正方形的面积等于4个小直角三角形面积之和再加上内部的小正方形的面积，即：
S= 4×ab+ c2……..
由得
（a+b）2= c2 + 4×ab
化简可得：a2+b2 = c2
从而结论得到证明。
【例题2】用1876年美国第十七任总统加菲尔德Garfield的方法证明勾股定理
【答案】见解析。
【解析】以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.
∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.
∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
它的面积等于c2
又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,
∴ AD∥BC.
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于S=（a+b）2……
又因为这个直角梯形的面积等于三个小三角形面积之和，即S= 2×ab+c2……
由得
（a+b）2= 2×ab+c2
化简：.
从而结论得到证明。
1.用初中教材出现的方法证明勾股定理
【答案】见解析。
【解析】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
左边图形面积S=a2+b2 + 4×ab
右边图形面积S= c2 + 4×ab
a2+b2 + 4×ab= c2 + 4×ab
整理得：
从而结论得到证明。
2.利用邹元治的方法证明勾股定理
【答案】见解析。
【解析】以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵