人教版2020年中考数学专题复习：用函数的观点看方程与不等式.doc

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用函数的观点看方程与不等式

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题型一：方程思想
思路导航
抛物线与轴的交点
抛物线与轴必有一个交点.
抛物线与轴的交点
当时，抛物线与轴有两个不同的交点.
当时，抛物线与轴有一个交点.
当时，抛物线与轴没有交点.
直线（或直线或直线）与抛物线的交点问题，可运用方程思想联立方程
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（或或）求出方程组的解，从而得到交点坐标. 比如抛物线与轴的交点联立方程组为，其中的是一元二次方程的两根，则抛物线与轴交于两点.
例题精讲
已知关于的二次函数．探究二次函数的图象与轴的交点的个数，并写出相应的的取值范围.
令时，得：
，以下分三种情况讨论：
①当时，方程有两个不相等的实数根，即
∴，此时，的图象与轴有两个交点
②当时，方程有两个相等的实数根，即
∴，此时，的图象与轴只有一个交点
③当时，方程没有实数根，即
∴，此时，的图象与轴没有交点
综上所述：
当时，的图象与x轴有两个交点；
当时，的图象与轴只有一个交点；
当时，的图象与轴没有交点．
典题精练
1. 抛物线与轴的交点.
⑴二次函数与轴的两个交点坐标为、，则一元二次方程的两根为 ．
⑵已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是 ．
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2. 抛物线与直线的交点.
图中抛物线的解析式为，根据图象判断下列方程根的情况．
⑴ 方程的两根分别为 ．
⑵ 方程的两根分别为 ．
⑶ 方程的根的情况是 ．
⑷ 方程的根的情况是 ．
3. 抛物线与直线的交点
⑴直线与抛物线只有一个交点，则 ．
⑵当取何值时，抛物线与直线：① 有公共点；② 没有公共点．
1.⑴，；⑵．
2. 用图象求解
⑴ ，
⑵ ，直线与抛物线只有一个交点，
故有两个相等实根，．
⑶ 直线与抛物线有两个交点，故原方程有两个不相等的实根．
⑷ 直线与抛物线无交点，故原方程无实根．
3. ⑴ 或；
⑵ 联立方程组即，
若有公共点，，解得；当时，没有公共点．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于、两点，点
的坐标为．
(1) 求点坐标；
(2) 直线经过点.
① 求直线和抛物线的解析式；
② 点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为．将抛物线在直线
上方的部分沿直线翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象．请结合图象回答：当图象与直线只有两个公共点时，的取值范围是 ．
【解析】(1) 证明：①当时，方程为，所以，方程有实数根.
②当时，
所以，方程有实数根
综上所述，无论k取任何实数时，方程总有实数根
(2) 令，则
解关于的一元二次方程，得 ，
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∵ 二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，
∴
(3) 由(2)得抛物线的解析式为
配方得
∴抛物线的顶点
∴直线OD的解析式为
于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h），
∴平移后的抛物线解析式为．
①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），∴，
解得． 
∴ 当 ≤h＜ 时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点．
②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，
由方程组，．   
得，
∴， 解得．
此时抛物线与射线CD唯一的公共点为，符合题意
综上：平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 或 ≤h＜．
已知关于m的一元二次方程=0.
(1) 判定方程根的情况；
(2) 设m为整数，方程的两个根都大于且小于，当方程的两个根均为有理数时，
求m的值．
【解析】(1)
∵
∴
所以无论m取任何实数，方程=0都有两个不相等的实数根.
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(2) 设．
∵ 的两根都在和之间，
∴ 当时，，即： ．
当时，，即：．
∴ ．
∵ 为整数， ∴ ．
① 当时，方程，
此时方程的根为无理数，不合题意．
②当时，方程，，不符合题意