人教版第09讲 四边形的存在性-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版.doc

硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点
中点坐标公式
如图1，在平面直角坐标系中，若点，，
且为线段中点，则点坐标为.
图1 图2
证明如下：
如图2，分别过点A，C作y轴平行线，过点B作x轴平行线，
分别交于点D和点E，则由图可得：，
即，解得，
故点的坐标为，可巧记为“中点对应平均数”.
一、平行四边形四顶点的坐标关系
如图3，在平行四边形ABCD中，有，
即相对两顶点的横纵坐标之和相等；
或者也可记为，
即对边两顶点之间的水平距离与垂直距离分别相等； 图3
证明：如图4，因为M点既是AC中点，也是BD中点，
由中点坐标公式可得：
，，
故有成立， 图4
利用此关系可以在二次函数解答题中进行相关点坐标求解.
二、平行四边形点的存在性问题解法
第一步：写出或设出三个顶点的坐标；
第二步：以“哪两个顶点相对”为分类标准，分三类讨论，利用上述模型，求出第四个顶点的坐标；
第三步：将第四个顶点坐标代入相应的函数关系式即可。
【例题1】（贵阳中考）如图，经过点C（0，﹣4）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣2，0），B两点．
（1）a　＞　0，b2﹣4ac　＞　0（填“＞”或“＜”）；
（2）若该抛物线关于直线x＝2对称，求抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）a＞0，b2﹣4ac＞0；
（2）∵直线x＝2是对称轴，A（﹣2，0），
∴B（6，0），
∵点C（0，﹣4），将A，B，C的坐标分别代入y＝ax2+bx+c，
解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣4，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（3）存在，理由为：
（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，
过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示，
则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，
∵抛物线y＝x2﹣x﹣4关于直线x＝2对称，
∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，
又∵OC＝4，
∴E的纵坐标为﹣4，
∴存在点E（4，﹣4）；
（ii）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是
平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，
则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，
∴AC＝E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，
∵AC∥E′F′，∴∠CAO＝∠E′F′G，
又∵∠COA＝∠E′GF′＝90°，AC＝E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，
∴E′G＝CO＝4，∴点E′的纵坐标是4，
∴4＝x2﹣x﹣4，
解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2，
∴点E′的坐标为（2+2，4），同理可得点E″的坐标为（2﹣2，4），
综上，点E的坐标为（4，﹣4），（2+2，4），（2﹣2，4）．
【例题2】已知如图，矩形OABC的长OA＝，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）求∠PCB的度数；
（2）若P，A两点在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；
（3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标．
【解析】（1）在Rt△OAC中，OA＝，OC＝1，则∠OAC＝30°，∠OCA＝60°；
根据折叠的性质知：OA＝AP＝，∠ACO＝∠ACP＝60°；
∵∠BCA＝∠OAC＝30°，且∠ACP＝60°，
∴∠PCB＝30°．
（2）过P作PQ⊥OA于Q；
Rt△PAQ中，∠PAQ＝60°，AP＝；
∴OQ＝AQ＝，PQ＝，
所以P（，）；
将P、A代入抛物线的解析式中，得：
，解得；即y＝﹣x2+x+1；
当x＝0时，y＝1，故C（0，1）在抛物线的图象上．
（3）①若DE是平行四边形的对角线，