人教版第15讲 非常规思维问题-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版.doc

硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点
一、轴对称/翻折的性质
1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形；
2. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点连线段的垂直平分线；
3. 对称轴上的任意一点与每一对对应点所连线段相等；
4. 若对应线段或对应线段的延长线相交，则交点一定在对称轴上.
二、梯形常见辅助线的作法


三、圆幂定理


四、正弦定理与余弦定理
五、阿基米德折弦定理
【例题1】（1）如图1，四边形ABCD是菱形，∠BAD=∠BCD=60°，当AC=12时，则△BCD的周长=______.
（2）如图2，若四边形ABCD不是菱形，∠BAD=2∠ACB=2∠ACD=60°，AC=12，判断△BCD的周长是否发生变化，并说明理由。
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=∠ACD=45°，AC=12，求△BCD的周长。

【归纳，本题重点巧用作轴对称/翻折的方法进行解题】
【变式1】已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．
（1）探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系；
（2）已知：如图（2），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．

图(1) 图(2)
【解析】（1）DE2＝BD2+EC2；
（2）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．
如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，
可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．
∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．
若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，
∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．

【例题2】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1＝3，S3＝9，则S2的值为_____.

【解析】∵S1＝3，S3＝9，
∴AB＝，CD＝3，
过A作AE∥CD交BC于E，
则∠AEB＝∠DCB，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE＝AD，AE＝CD＝3，
∵∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠AEB+∠ABC＝90°，
∴∠BAE＝90°，
∴BE＝＝2，
∵BC＝2AD，
∴BC＝2BE＝4，
∴S2＝（4）2＝48，
故选：D．
【变式2-1】如图所示．梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B＝90°，AB＝p，CD＝q，E，F分别为AB，CD的中点，求EF．
【解析】过点F分别作FG∥AD，FH∥BC交AB于G，H，（如图）
∴∠A＝∠FGH，∠B＝∠FHG，
∵∠B+∠A＝90°，
∴∠FGH+∠FHG＝90°，
∴△FGH是直角三角形，
∵FG∥AD，FH∥BC，AB∥CD，
∴四边形ADFG、FHBC都是平行四边形，
又∵E、F分别是两底的中点，
∴AE＝EB，BH＝AG，
∴GE＝EH，
∴DF＝AG＝，FC＝HB＝，FG＝AD，FH＝BC，
在Rt△FGH中，即EF是Rt△FGH斜边的中线，
∴EF＝GH＝（AB﹣CD）＝．
【变式2-2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，，求∠B、∠D
解：过A作AE∥DC，设AB=3a（a＞0）根据勾股定理逆定理可得∠BAE=90°，∠AEB=30°，可推出
∠B=60°，∠D=150°
【例题3】如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝4，则PA的长为　　．
【解析】∵PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，PB＝2，PC＝4，
∴PA