人教版专题5 抛物线上面积类综合问题的转化与探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc

专题五 抛物线上面积类综合问题的转化与探究
知识讲解
专题导例
阅读材料：如图 1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图 2，抛物线顶点坐标为点 C（1，4），交 x 轴于点 A（3，0），交 y 轴于点 B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求△CAB 的铅垂高 CD及 S△CAB；
（3）抛物线上是否存在一点 P，使 S△PAB＝ S△CAB？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
【分析】（1）已知了顶点 C 坐标，可用顶点式的二次函数通式设出这个二次函数，然后根据 A 点的坐标可求出二次函数的解析式．然后根据求出的二次函数的解析式，求出 B 点的坐标，然后可用待定系数法用 B、A 的坐标求出 AB 所在直线的解析式；
（2）要求三角形 CAB 的面积，根据题中给出的求三角形面积的求法，那么要先求出水平宽和铅垂高，求铅垂高就要求出 C，D 两点纵坐标，C 点的坐标已知，可用（1）中的一次函数求出 D 点的纵坐标，那么 C，D 两点的纵坐标的差的绝对值就是三角形 CAB 的铅垂高，而水平宽是 A 点的横坐标，这样可根据题中给出的求三角形的面积的方法得出三角形 CAB 的面积；
（3）可先根据（2）中三角形 CAB 的面积得出三角形 PAB 的面积，三角形 PAB 中，水平宽是 A 的横坐标为定值，因此根据三角形 PAB 的面积可得出此时的铅垂高，然后用抛物线的解析式以及一次函数的解析式，先表示出铅垂高，然后根据由三角形 PAB 的面积求出的铅垂高可得出关于 x 的方程，即可得出 x 的值，然后代入二次函数式中即可得出此点的坐标。
典例剖析
类型一：利用面积关系式求解最值问题
例1.如图，在直角坐标系中，点 A的坐标为（﹣2，0），连接 OA，将线段 OA 绕原点O顺时针旋转 120°，得到线段 OB．
（1）求经过 A、O、B三点的抛物线的解析式；
（2）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．
（注意：本题中的结果均保留根号）
【分析】（1）由已知得 OA＝2，将线段 OA绕原点 O顺时针旋转120°，则 OB与 x轴的正方向夹角为60°，过点 B作 BD⊥x 轴于点 D，解直角三角形可得 OD、BD的长，可表示 B点的坐标；将 A、O、B 三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式；
（2）因为点 A，O关于对称轴对称，连接 AB 交对称轴于 C点，C点即为所求，求直线AB的解析式，再根据 C 点的横坐标值，求纵坐标；
（3）设 P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0），用割补法可表示△PAB的面积，根据面积表达式再求取最大值时，x的值．
二：类型二：由已知面积来定未知面积类问题
例2. 如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠B＝60°，CE⊥AB于E，动点P从出发点以1cm/s的速度沿BC边向终点C运动，同时动点Q从点C出发以4cm/s的速度沿CD边向点D运动，当点Q到达D时立即以原来的速度沿射线DA运动，连接PQ，当点P到达C点时，点P、点Q同时停止运动，设点P，Q运动时间为t秒．
（1）当t＝　　时，点Q到达点D；
（2）如图1，当点Q在CD上运动时，若△PCQ的面积等于△BEC的面积，求t的值；
（3）如图2，当点Q在DA的延长线上运动时，PQ与AB相交于点F，若AF：BF＝3：2，求t的值，并判断此时PQ与CE的位置关系；
（4）在整个运动过程中，是否存在将菱形ABCD的周长和面积同时平分的情形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，简要说明理由．
【分析】（1）根据时间＝即可求解；
（2）首先求得△BCE的面积，然后利用t表示出PC和CQ的长，则△PCQ的面积即可用t表示，则列方程即可求解；
（3）易证△AQF∽△BPF，根绝相似三角形的对应边的比相等即可列方程求解；
（4）PQ同时把菱形ABCD的周长和面积同时平分，则PQ一定经过菱形的中心，则一定有DQ＝BP，据此即可求解．
类型三：与面积倍分有关的综合题
例3. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y