人教版专题43：第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之函数法求最值-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

43第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之函数法求最值
一、单选题
1．如图，将一张面积为20的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的最大面积为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知△AMN∽△ABC，可知相似比为，再根据高之比也为相似比，表示出平行四边形的高，再利用面积公式求得即可．
【解答】由题意可知：MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
，
而S△ABC＝，即：，解得：AE＝4，
，
平行四边形＝，
，
因此平行四边形纸片的最大面积为10，
故选B．
【点评】本题考查相似的性质，平行四边形的性质与面积计算，计算量较大．
2．已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】先利用一元二次方程的根的判别式、根的定义求出m的取值范围和，再利用二次函数的性质求最值即可得．
【解答】由题意得：此方程的根的判别式，
解得，
是一元二次方程的一个根，
，即，
对于任意实数m，均成立，
令，
整理得：，
由二次函数的性质可知，当时，y取得最大值，最大值为，
即的最大值等于，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根的定义、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
3．在平面直角坐标系中，已知A（2，4），P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作AH⊥y轴，CE⊥AH，证明△AHB∽△CEA，根据相似三角形的性质得到AE＝2BH，求出点M的坐标，根据两点间的距离公式用x表示出PM，根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥y轴于H，过点C作CE⊥AH于E，
则四边形CEHO是矩形，
∴ OH＝CE＝4，
∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，
∴ ∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，
∴ ∠ABH＝∠EAC，
∴ △AHB∽△CEA，
∴ ，即
∴ AE＝2BH，
设BH＝x，则AE＝2x，
∵A（2，4），
∴ OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，
∴ B（0，4﹣x），C（2+2x，0），
∵M为BC的中点，
∴ BM＝CM，
∴ M（1+x，），
∵ P（1，0），
∴ PM＝，
∴ 当时，PM有最小值为=，
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形性质、矩形的判定与性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式、二次函数的性质等知识，认真分析图形，借助作辅助线，利用相似三角形的性质及二次函数的最值求解是解答的关键．
4．一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动(不含端点A、D)，当线段BE最短时，AP的长为( )
A．cm B．1cm C．cm D．2cm
【答案】C
【分析】设，，由得，构建二次函数即可解决问题；
【解答】设BE=y，AP=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴时，y有最小值．
故答案选C．
【点评】本题主要考查了求解二次函数的最值问题，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5．如图，线段AB的长为2，C为AB上一动点，分别以AC、BC 为斜边在AB的同侧作两个直角、，其中∠A=30°，∠B=60°，则DE的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】设，则，再根据直角三角形的性质、勾股定理分别求出CD、CE的长，然后根据角的和差可得，从而利用勾股定理可得，最后利用二次函数的性质求解即可得．
【解答】如图，连接DE
设，则，且，即
在中，，
，
在中，，
，，
在中，
整理得：
由二次函数的性质可知，当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大
则当时，取得最小值，最小值为
因此，DE的最小值为
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识点，利用勾股定理得出关于x的表达式是解题关键．
二、填空题
6．已知，四边形A