人教版初中数学第10关 以二次函数与相似三角形问题为背景的解答题（解析版）.docx

第十关 以二次函数与相似三角形问题为背景的解答题
【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学****二次函数与相似三角形的存在性问题是中考考试的一个热点。解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透．存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题．解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设．
【解题思路】理解存在性问题的解题思路，根据已知角相等找出对应边成比例，存在性问题的知识覆盖面较广，综合性较强，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的要求较高。一般思路是从存在的角度出发→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，若导出矛盾，就做出不存在的判断.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径:①求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形,根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论;②利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理/三角函数/对称/旋转等知识来推导边的大小;③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数关系式表示各边的长度,之后利用相似列方程求解.
【典型例题】
【例1】（2019·湖南中考真题）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2.(点A在点B的左侧)
(1)求点A、B的坐标；
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；
(3)如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)点A坐标为(﹣4，﹣4)，点B坐标为(﹣1，﹣2)；(2)S△OA'M＝8；(3)点D坐标为(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.
【解析】
【分析】
(1)把x＝﹣4代入解析式，求得点A的坐标，把y=-2代入解析式，根据点B与点A的位置关系即可求得点B的坐标；
(2)如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G，先求出点A'、B'的坐标，OA＝OA'＝，然后利用待定系数法求得抛物线F2解析式为：，对称轴为直线：，设M(6，m)，表示出OM2，A'M2，进而根据OA'2+A'M2＝OM2，得到(4)2+m2+8m+20＝36+m2，求得m＝﹣2，继而求得A'M＝，再根据S△OA'M＝OA'•A'M通过计算即可得；
(3)在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似，先求得直线OA与x轴夹角为45°，再分点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似，点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°(如图2、图3)，此时再分△AOD∽△OA'C，△DOA∽△OA'C两种情况分别讨论即可得.
【详解】
(1)当x＝﹣4时，，
∴点A坐标为(﹣4，﹣4)，
当y＝﹣2时，，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6，
∵点A在点B的左侧，
∴点B坐标为(﹣1，﹣2)；
(2)如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G，
∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2，
∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，
∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°，
∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠B'OG＝∠OBE，
在△B'OG与△OBE中
，
∴△B'OG≌△OBE(AAS)，
∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1，
∵点B'在第四象限，
∴B'(2，﹣1)，
同理可求得：A'(4，﹣4)，
∴OA＝OA'＝，
∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'，
∴，
解得：，
∴抛物线F2解析式为：，
∴对称轴为直线：，
∵点M在直线x＝6上，设M(6，m)，
∴OM2＝62+m2，A'M2＝