人教版考点05 一元二次方程-备战2020年中考数学考点一遍过.docx

考点05 一元二次方程
一、一元二次方程的概念
1．一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．一般形式
（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；
（2）一元二次方程必须具备三个条件：
①必须是整式方程；
②必须只含有一个未知数；
③所含未知数的最高次数是2．
二、一元二次方程的解法
1．直接开平方法
适合于或形式的方程．
2．配方法
（1）化二次项系数为1；
（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3．公式法
（1）把方程化为一般形式，即；
（2）确定的值；
（3）求出的值；
（4）将的值代入即可．
4．因式分解法
基本思想是把方程化成的形式，可得或．
三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系
1．根的判别式
一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．
2．一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；
（3）当时，方程没有实数根．
3．根与系数关系
对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，．
四、利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．
1．增长率等量关系
（1）增长率=增长量÷基础量．
（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有．
2．利润等量关系
（1）利润=售价－成本．
（2）利润率=×100％．
3．面积问题
（1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．
（2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．
（3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．

图1 图2 图3
考向一 一元二次方程的概念
一元二次方程必须具备三个条件：
①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
典例1 【江西省赣州市蓉江新区潭东中学2019–2020学年九年级上学期期中数学试题】方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【解析】可变形为：，
∴二次项系数为：2，一次项系数为：，常数项为：，
故选D．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟记定义.
1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是
A．（是实数） B．
C． D．
考向二 解一元二次方程
一元二次方程的常见解法及适用情形：
一般形式：
直接开平方法
形如的方程，可直接开方求解，则，
因式分解法
可化为的方程，用因式分解法求解，则，
配方法
若不易于使用分解因式法求解，可考虑配方为，再直接开方求解
公式法
利用求根公式：
典例2 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_______________．
【答案】或
【解析】因为是关于的一元二次方程的一个根，
所以，即，整理得，
解得，．故的值是或．
典例3 用配方法解方程时，配方结果正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，即．
故选B．
2．一元二次方程的解是_______________．
3．方程的根是_______________．
考向三 一元二次方程根的判别式
对于方程，，
①若，方程有两个不相等的实数根；
②若，方程有两个相等的实数根；
③若，方程没有实数根．
典例4 【四川省成都市部分学校2019–2020学年九年级上学期期中数学试题】一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【解析】对于方程，因为a=1，b=－7，c=－1，所以Δ=（