人教版初中数学专题22 三角形中位线定理应用问题（解析版）.docx

专题22 三角形中位线定理应用问题
1．三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
3.对三角形中位线的深刻理解
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
【例题1】（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　）
A．1 B．12 C．13 D．14
【答案】D
【解析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE=12AC，DF=12BC，EF=12AB，
∴DFBC=EFAB=DEAC=12，
∴△DEF∽△ABC，
∴S△DEFS△ABC=（DEAC）2＝（12）2=14，
∵等边三角形ABC的面积为1，
∴△DEF的面积是14.
【对点练****2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（　　）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【答案】A．
【解析】∵四边形ABCD为菱形，
∴CD＝BC＝＝5，且O为BD的中点，
∵E为CD的中点，
∴OE为△BCD的中位线，
∴OE＝CB＝2.5。
【点拨】掌握菱形特点，根据三角形中位线定理解决问题。
【例题2】（2020•临沂）如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若
AC＝6，则DH＝　　．
【解析】1．
【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，DH是△AEF的中位线，易证△BEF∽△BAC，得EFAC=BEAB，解得EF＝2，则DH=12EF＝1．
【解析】∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，
∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，
∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，
∴DH=12EF，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EFAC=BEAB，即EF6=BE3BE，
解得：EF＝2，
∴DH=12EF=12×2＝1，
【对点练****2019广西梧州）如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是　 　cm．
【答案】8．
【解析】利用三角形中位线定理求得FG＝DE，DE＝BC．
如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，
∴DE＝2FG＝4cm，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝8cm
【点拨】连续两次应用三角形中位线定理处理本题，是关键。
【例题3】（2020湖南岳阳模拟）D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形.
【答案】见解析。
【解析】证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE∥BC，且DE=BC，
同理，GF∥BC，且GF=BC，
∴DE∥GF且DE=GF，
∴四边形DEFG是平行四边形。
【对点练****如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD中点，CE交BA延长线于点F。求证：AB＝AF。
【答案】见解析。
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC
AD=BC
∵E是AD的中点，∴DE=AE。
∴AE=AD=BC
∴AE是三角形BCF的中位线。
∴E是FC的中点，A是FB中点
∴FA=AB。
【点拨】本题证明方法多，利用全等三角形判定定理和性质定理，结合平行四边形特点也可以解决问题。
一、选择题
1．（2020•内江）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC＝（　　）
A．30 B．25 C．22.5 D．20
【答案】D
【解析】先根据三角形中位线的性质，证得：DE∥BC，DE=12BC，进而得出△ADE∽△ABC，又由