人教版考点06 分式方程-备战2020年中考数学考点一遍过.docx

考点06 分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：
①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
③解整式方程；
④验根．
易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
4．分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：
①设未知数；
②找等量关系；
③列分式方程；
④解分式方程；
⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；
⑥答．
考向一 解分式方程
分式方程的解法：
①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根．
典例1 解分式方程：．
【解析】去分母得：6-x=x-2，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解．
【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
典例2 方程的解为_______________．
【答案】
【解析】方程两边同乘以，得，
解得，
检验：时，，
所以是原分式方程的解．
故填．
【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．
1．解分式方程，去分母得
A． B．
C． D．
2．方程的解为
A．2 B．2或4 C．4 D．无解
考向二 分式方程的解
（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.
（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.
（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.
（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
典例3 若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和是
A．6 B．0 C．1 D．9
【答案】D
【解析】分式方程去分母得：ax-1-x=3，
解得：x=，
由分式方程的解为整数解，得到a-1=±1，a-1=±2，a-1=±4，
解得：a=2，0，3，-1，5，-3（舍去），
则满足条件的所有整数a的和是9，
故选D．
【名师点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
典例4 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为_______________．
【答案】且
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得，解得，由分式方程的解为负数，可得且，即，解得且．
3．若关于的方程有增根，则的值为
A．－ B．
C． D．
4．关于的方程的解为，则
A．1 B．3 C．-1 D．-3
考向三 分式方程的应用
分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．
典例5 某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知原计划每天生产个零件，则实际每天生产了个零件，实际15天共生产了个零件，因此根据题意可列分式方程为．
故选A．
典例6