人教版初中数学专题05 分式方程（解析版）.doc

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专题05分式方程及应用
【考点1】解分式方程
【例1】（2020·湖南郴州·中考真题）解方程：
【答案】x=3．
【解析】
【分析】
观察可得方程最简公分母为(x2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
【详解】
解：
去分母得，
解得，x=3，
经检验，x=3是原方程的根，
所以，原方程的根为：x=3．
【点睛】
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验．
【变式1-1】（2020·内蒙古通辽·中考真题）解方程：.
【答案】.
【解析】
【分析】
首先去掉分母，观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．
【详解】
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
化x的系数为1，得，
经检验，是原方程的根，
∴原方程的解为．
【点睛】
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤以及注意事项是解题的关键．
【变式1-2】（2020·山东莘县·初三学业考试）解方程：．
【答案】原方程无解．
【解析】
【分析】
观察可得最简公分母是（x﹣1）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】
解：方程的两边同乘（x﹣1）（x+1），得
，解得x=1．
检验：把x=1代入（x﹣1）（x+1）=0．
所以原方程的无解．
【点睛】
本题考查解分式方程．
【考点2】已知分式方程的解，求字母参数的值
【例2】（2020·临潭县第二中学初三二模）若x=4是分式方程的根，则a的值为　　
A．6 B．－6 C．4 D．－4
【答案】A
【解析】
【分析】
把x=4代入方程进行求解即可.
【详解】
由题意得：=，
解得：a=6，
故选A.
【点睛】
本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程解的意义是解题的关键.
【变式2-1】若关于x的分式方程m-3x-1=1的解为x＝2，则m的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】∵关于x的分式方程m-3x-1=1的解为x＝2，
∴x＝m﹣2＝2，
解得：m＝4．
故选：B．
点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确解方程是解题关键．
【考点3】分式方程的特殊解问题
【例3】（2020·四川眉山·中考真题）关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】
利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】
解：
方程两边同乘（x-2）得，1+2x-4=k-1，
解得
，
，且
故答案为：且
【点睛】
本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．
【变式3-1】（2020·四川广元·中考真题）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_____________．
【答案】m<2且m≠0
【解析】
【分析】
首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
【详解】
解：去分母得：m+4x-2=0，
解得：x＝，
∵关于x的分式方程的解是正数，
∴＞0，
∴m<2，
∵2x-1≠0，
∴，
∴m≠0，
∴m的取值范围是m<2且m≠0．
故答案为：m<2且m≠0．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键．
【变式3-2】（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
先解出关于x的分式方程得到x=，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．
【详解】
关于x的分式方程
得x=，
∵
∴
解得-7＜k＜14
∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又∵分式方程中x≠2且x≠-3
∴k≠35且k≠0
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,
故选A．
【点睛】
此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．
【考点4】分式方程的无解（增根）问题