人教版第10讲 垂直问题专题-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版.doc

硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点
一线三垂直
如图1：若，且，则
如图2：若，且，则

图1 图2
射影定理
如图3/4：中，，，则有如下结论成立：
三条直角边看成竹竿，最长斜边AB看成地面；
三竹竿的平方等于各自的两个地面影子之积；
巧记：每条竹竿平方等于地面上的点出发的两条线段之积.
AC2=AD·AB
CD2=DA·DB
CB2=BD·BA

图3 图4
构造“一线三直角”
（1）如图1/2/3：过的直角顶点，作一条直线，再分别过点A,C向其作垂线，垂足分别为点D、E，则截有结论成立：
图1 图2 图3
（2）在平面直角坐标系中，常常化斜为直，作“横平竖直辅助线”构造三角形相似，如图4，当见到AB⊥CD时，若过A、B、C、D四个顶点作“水平线”与“竖直线”，则有
图4
（3）除上述“三垂直相似”外，如图5，当见到矩形ABCD中，EF⊥HG这种“十字架垂直”时，分别过E、H作“水平线”与“竖直线”，则有，若正方形，则相似变为全等.
图5
【例题1】将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是______.
【解析】如图：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，
过点C作CM⊥x轴于点M，
∵∠EAO+∠AOE＝90°，∠AOE+∠MOC＝90°，
∴∠EAO＝∠COM，
又∵∠AEO＝∠CMO，
∴∠AEO∽△COM，
∴＝＝，
∵∠BAN+∠OAN＝90°，∠EAO+∠OAN＝90°，
∴∠BAN＝∠EAO＝∠COM，
在△ABN和△OCM中
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN＝CM，
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，
∴BN＝，
∴CM＝，
∴MO＝3，
∴点C的坐标是：（3，）．
【例题2】如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，∠A＝30°，则k的值为　　．
【解析】过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M．
∵第一象限内的点A在反比例函数y的图象上，
∴设A（x，）（x＞0），ON•AN＝1．
∵∠A＝30°，
∴tan∠A＝＝，
∵OA⊥OB，
∴∠BMO＝∠ANO＝∠AOB＝90°，
∴∠MBO+∠BOM＝90°，∠MOB+∠AON＝90°，
∴∠MBO＝∠AON，
∴△MBO∽△NOA，＝＝＝，
∴BM＝ON，OM＝AN．
又∵第二象限的点B在反比例函数y＝上，
∴k＝﹣OM•BM＝﹣ON×AN＝﹣．
故答案为﹣．
【例题3】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝，OC＝，则另一直角边BC的长为　　．
【解析】过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M，作ON⊥BC于点N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠AOB＝90°，
∵∠MON＝∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
在△AOM和△BON中，
∴△OMA≌△ONB，
∴OM＝ON，MA＝NB．
∴O点在∠ACB的平分线上，
∴△OCM为等腰直角三角形．
法2：过点D作CB延长线的垂线，垂足为F，连接OF，构造一线三直角计算。
∵OC＝，
∴CM＝ON＝1．
∴MA＝CM﹣AC＝1﹣＝，
∴BC＝CN+NB＝1+＝．
故答案为：．
【例题4】在平面直角坐标系中，点A（1,3）B（2，-1），在一次函数的图像上是否存在点P，使得∠APB=90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】两种解法，答案为或
【例题5】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6