人教版初中数学第1关 以几何图形中的动点最值问题为背景的选择填空题（解析版）.docx

第1关 以几何图形中的动点最值问题为背景的选择填空题
【考查知识点】 “两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
【解题思路】找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.求线段和的最小值需要用到三个基本知识：两点之间，线段最短；轴对称的性质；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.常见情况有三种：“两点一线”型、“一点两线”型和“两点连线” 型.
平面上最短路径问题：
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”。凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
（3）平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题。
【典型例题】
【例1】如图，是等边三角形，，点、分别为边、上的动点，当的周长最小时，的度数是______________.
【答案】
【解析】先作点D关于AC和BC的对称点G、H，连接GH交AC和BC于点E、F，此时△DEF的周长最小，再根据三角形内角和与等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，作点D关于AC的对称点G，点D关于BC的对称点H，连接GH交AC、BC于E、F，
∵D、G关于AC对称，D、H关于BC对称，
∴DE=EG，DF=FH，
∴的周长=DE+DF+EF=EG+EF+FH,
∴当G、E、F、H四个点在同一直线上时，的周长最小，
∵是等边三角形，
∴∠A=∠B = ，
∵D、G关于AC对称，D、H关于BC对称，
∴∠ADG= ，∠BDH= ，∠EDG=∠DGE，∠FDH=∠DHF，
∴∠GDH=，
∴∠DGE+∠DHF=，
∴∠EDG+∠FDH=，
∴∠EDF=.
故答案是：.
【名师点睛】关于最短路线问题：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点（注：本题C，D位于OB的同侧）．如下图，解决本题的关键：一是找出最短路线，二是根据一次函数与方程组的关系，将两直线的解析式联立方程组，求出交点坐标.
【例2】如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为___．
【答案】
【解析】作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，根据垂径定理得到AH=BH=AB=，CD=CE，再判断出△BCD∽△ECA得出CD•CE=BC•AC，易得CD=，当CH最小时，CD最大，C点运动到H点时，CH最小，所以CD的最大值为．
【详解】解：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，
∴AH=BH=AB=，
∵CD⊥OC，
∴CD=CE，
∵∠ABD=∠DEA，∠BCD=∠ECA，
∴△BCD∽△ECA，
∴，
∴CD•CE=BC•AC，
∴CD2=（BH-CH）（AH+CH）=（-CH）（+CH）=-CH2，
∴CD=，
∴当CH最小时，CD最大，
而C点运动到H点时，CH最小，
此时CD=，即CD的最大值为．
故答案为．
【名师点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
【方法归纳】
在平面几何的动态问题中，求几何量的最大值或最小值问题常会运用以下知识：
三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
②两点之间线段最短；
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④定圆中的所有弦中，直径最长；
⑤利用对称的性质求两条线段之和最小的问题，解决此类问题的方法为：如图，要求线段l上的一动点P到点A、B距离和的最小值，先作点A关于直线L的对称点A′,连接A′B,则A′B与直线L的交点即为P点，根据对称性可知A′B的长即为PA+PB的最小值，求出A′B的值即可.
【针对练****1．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）
A． B． C．6 D．3
【答案】D
【详解】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交