人教版初中数学第13关 以二次函数与圆的问题为背景的解答题（解析版）.docx

第十三关：以二次函数与圆的问题为背景的解答题
【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学****圆”在初中阶段学****占有重要位置,“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、“直线与圆的位置关系”的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结合,则多作为区分度较高的压轴题中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数学思想,得到命题者的青睐
【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了．只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的．解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。
【典型例题】
【例1】（2019·黑龙江中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx-53经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；
（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=-13x2+2x-53；（2）相交；（3）S△PBC有最大值12524，此时P点坐标为（52，54）．
【解析】
试题分析：（1）把A、B两点分别代入抛物线解析可求得a和b，可求得抛物线解析式；
（2）过A作AD⊥BC于点D，则AD为⊙A的半径，由条件可证明△ABD∽△CBO，利用相似三角形的性质可求得AD的长，可求得半径，进而得出答案；
（3）由待定系数法可求得直线BC解析式，过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，可设出P、Q的坐标，可表示出△PQC和△PQB的面积，可表示出△PBC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，容易求得P点坐标．
试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx-53经过点A（1，0）和点B（5，0），∴把A、B两点坐标代入可得a+b-53=025a+5b-53=0，解得：a=-13b=2，∴抛物线解析式为y=-13x2+2x-53；
（2）相交，理由：过A作AD⊥BC于点D，如图1，∵⊙A与BC相切，∴AD为⊙A的半径，由（1）可知C（0，﹣53），且A（1，0），B（5，0），∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=53，在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC=OC2+OB2=(53)2+52=5103，∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，∴△ABD∽△CBO，∴ADOC=ABBC，即AD53=45103，解得AD=2105，即⊙A的半径为2105，∵2105＞1，∴⊙A与y轴相交；
（3）∵C（0，﹣53），∴可设直线BC解析式为y=kx﹣53，把B点坐标代入可求得k=13，∴直线BC的解析式为y=13x-53，过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，如图2，设P（x，-13x2+2x-53），则Q（x，13x-53），∴PQ=（-13x2+2x-53）﹣（13x-53）=-13x2+53x=-13(x-52)2+2512，∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=12PQ•OE+12PQ•BE=12PQ（OE+BE）=12PQ•OB=52PQ=-56(x-52)2+12524，∴当x=52时，S△PBC有最大值12524，此时P点坐标为（52，54），∴当P点坐标为（52，54）时，△PBC的面积有最大值．
考点：二次函数综合题；探究型；二次函数的最值；最值问题；存在型；压轴题．
【例2】（2019·广西中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，点的坐标为，抛物线经过三点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴的交点为点，点关于原点的对称点为，连接，以点为圆心，的长为半径作圆，点为直线上的一个动点．