人教版初中数学专题16 相交线与平行线（解析版）.docx

专题16 相交线与平行线
一、相交线
1．邻补角
（1）定义：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
（2）性质：邻补角的性质：邻补角互补。
2．对顶角
（1）定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
（2）性质：对顶角的性质：对顶角相等。
3．垂线
（1）定义：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
（2）垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
4．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角定义：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
（2）内错角定义：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
（3）同旁内角定义：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
二、平行线
1.平行线概念：在同一平面内，两条不想交的直线叫做平行线。记做a∥b
如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。
2.两条直线的位置关系：平行和相交。
3.平行线公理及其推论：
（1）公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行.
4.平行线的判定：
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行；
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两直线平行；
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，两直线平行.
补充平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行。
（2）垂直于同一条直线的两直线平行。
5.平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
6．证明的一般步骤
（1）根据题意，画出图形。
（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
【例题1】（2020•北京）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【答案】A
【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可．
【解析】A．∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，故A正确；
B．∵∠2＝∠A+∠3，
∴∠2＞∠3，故B错误；
C．∵∠1＝∠4+∠5，故③错误；
D．∵∠2＝∠4+∠5，∴∠2＞∠5；故D错误.
【对点练****2019•河北省）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容
则回答正确的是（　　）
A．◎代表∠FEC B．@代表同位角
C．▲代表∠EFC D．※代表AB
【答案】C．
【解析】证明：延长BE交CD于点F，
则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．
又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．
故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点拨】以角度之间的关系为前提，得出两条直线平行，是平行线判定定理的运用。
【例题2】（2020•衡阳）一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为　 　．
【答案】105°．
【分析】利用平行线的性质得到∠2＝∠D＝45°，然后结合三角形外角定理来求∠1的度数．
【解析】如图，∵AB∥CD，∠D＝45°，
∴∠2＝∠D＝45°．
∵∠1＝∠2+∠3，∠3＝60°，
∴∠1＝∠2+∠3＝45°+60°＝105°．
【对点练****2019江苏镇江）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝_______．
【答案】40°
【解析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质及三角形内角和定理，先求出∠ACD的度数是解题的关键．
∵△BCD是等边三角形，
∴∠B＝∠BCD＝60°．
∵∠A＝20°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝100°．
∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝40°．
∵a∥b，
∴∠1＝∠ACD＝40°．
【点拨】已知两条直线平行的情况下，求解或者证明其他问题的过程，是利用平行线性质解决问题。
【例题3】（2020•武汉）如图直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN．求证：AB∥CD．