人教版初中数学专题18 平行四边形（解析版）.docx

专题18 平行四边形
知识点1：平行四边形
平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边相等；
（2）平行四边形的对角相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
3.平行四边形的判定
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
知识点2：特殊的平行四边形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
（1）矩形的性质：
1）矩形的四个角都是直角；
2）矩形的对角线平分且相等。
（2）矩形判定定理：
.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
.对角线相等的平行四边形是矩形。
.有三个角是直角的四边形是矩形。
菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（1）菱形的性质：
1）菱形的四条边都相等；
2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（2）菱形的判定定理：
一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边相等的四边形是菱形。
（3）菱形的面积S=1/2×ab（a、b为两条对角线）
4.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形的性质：
1）四条边都相等，四个角都是直角。
2）正方形既是矩形，又是菱形。
（2）正方形判定定理：
1）邻边相等的矩形是正方形。
2）有一个角是直角的菱形是正方形。
1.平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
（1）连对角线或平移对角线；
（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；
（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；
（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
2.四边形中常用辅助线的添法顺口溜
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成****惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
【例题1】（2020•绥化）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：
①DE=12BC；②四边形DBCF是平行四边形；
③EF＝EG；④BC＝25．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】证出DE是△ABC的中位线，则DE=12BC；①正确；证出DF＝BC，则四边形DBCF是平行四边形；②正确；由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=12AB＝BD，则CF＝CD，得出∠CFE＝∠CDE，证∠CDE＝∠EGF，则∠CFE＝∠EGF，得出EF＝EG，③正确；作EH⊥FG于H，由等腰三角形的性质得出FH＝GH=12FG＝1，证△EFH∽△CEH，则EHCH=FHEH，求出EH＝2，由勾股定理的EF=5，进而得出BC＝25，④正确．
【解答】解；∵CD为斜边AB的中线，∴AD＝BD，
∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴AE＝CE，DE=12BC；①正确；
∵EF＝DE，∴DF＝BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；②正确；∴CF∥BD，CF＝BD，
∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB的中线，∴CD=12AB＝BD，∴CF＝CD，∴∠CFE＝∠CDE，
∵∠CDE+∠EGC＝180°，∠EGF+∠EGC＝180°，
∴∠CDE＝∠EGF，∴∠CFE＝∠EGF，∴EF＝EG，③正确；