人教版初中数学专题七 几何综合应用(解析版).docx

专题七　几何综合应用
类型1　以三角形为背景的计算和证明问题
1．如图，一条4 m宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为____ m2.
【解析】如图，作DE⊥AC于点E，
可证△DAE∽△ACB∴＝.即：＝解得：AB＝16(m)，∴道路的面积为AD×AB＝5×16＝80(m2)．
2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α(0＜α≤180°)，记直线BD1与CE1的交点为P.
(1)如图1，当α＝90°时，线段BD1的长等于__2__；(直接填写结果)
(2)如图2，当α＝135°时，求证：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1；
(3)求点P到AB所在直线的距离的最大值．(直接写出结果)[来源:学_科_网]
解：(2)证明：当α＝135°时，由旋转可知∠D1AB＝∠E1AC＝135°.又∵AB＝AC，AD1＝AE1，∴△D1AB≌△E1AC.∴BD1＝CE1且∠D1BA＝∠E1CA.设直线BD1与AC交于点F，有∠BFA＝∠CFP，∴∠CPF＝∠FAB＝90°.∴BD1⊥CE1.
(3)1＋(四边形AD1PE1为正方形时，距离最大，此时PD1＝2，PB＝2＋2)．
3．如图，已知△ABC中AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点．
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点P点Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？[来源:Zxxk.Com]
解：(1)①∵t＝1(秒)，∴BP＝CQ＝3(厘米)
∵AB＝12，D为AB中点，∴BD＝6(厘米)
又∵PC＝BC－BP＝9－3＝6(厘米)
∴PC＝BD∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD与△CQP中，，∴△BPD≌△CQP(SAS)，②∵VP≠VQ，∴BP≠CQ，又∵∠B＝∠C，要使△BPD≌△CPQ，只能BP＝CP＝4.5，∵△BPD≌△CPQ，∴CQ＝BD＝6.∴点P的运动时间t＝＝＝1.5(秒)，此时VQ＝＝＝4(厘米/秒)；(2)因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB＋AC的路程，设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x＝3x＋2×12，解得x＝24(秒)，此时P运动了24×3＝72(厘米)[来源:学科网]
又∵△ABC的周长为33厘米，72＝33×2＋6，∴点P、Q在BC边上相遇，即经过24秒，点P与点Q
第一次在BC边上相遇．
[来源:学_科_网]
类型2　以四边形为背景的计算和证明问题
4．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分