第11讲 勾股定理与锐角三角函数（压轴题组）（解析版）-2022年中考数学大复习（人教版）.doc

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第11讲 勾股定理与锐角三角函数（压轴题组）
1．（2021·广东佛山·九年级期中）如图1，有一张矩形纸条，边、的长分别是方程的两个根，为上一点，．
（1）连接，，试说明．
（2）如图2，为边上一个动点，将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上，边与边交于点．
①如图3，当点与点重合时，求到的距离．
②在点从点运动到点的过程中，求点相应运动的路径长（路程）．
【答案】（1）见解析；（2）①；②
【详解】
解：（1）证明：如图1，
解方程得或，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
是直角三角形，；
（2）解：①四边形是矩形，
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，
，
由折叠的性质得：，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
在中，由勾股定理得：，
设到的距离为，
则，
，
即到的距离为；
②当与点重合时，如图3所示：
此时；
当时，如图4所示，
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此时；
当在上，与重合，如图5所示：
此时；
点相应运动的路径长为：．
2．（2021·上海市奉贤区育秀实验学校九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF＝90°．
（1）（图1）求DE：DF的值；
（2）（图2）连结EF，射线DF与射线BA相交于点G，当△EFG是等腰三角形时，求CF的长度；
（3）（图3）连结EF，设点B与点E间的距离为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴，
∵AD是BC边上的高，
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∴，∠ADC=∠ADB=90°，
∴，
∴，
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠EDF-∠ADF=∠ADC-∠ADF即∠ADE=∠CDF，
∵∠B+∠C=180°-∠BAC=90°，∠B+∠EAD=180°-∠ADB=90°，
∴∠EAD=∠C，
∴△EAD∽△FCD，
∴；
（2）如图所示，∵∠EFG=∠FDE+∠FED＞90°，
∴当△EFG是等腰三角形的时候，只存在EF=GF这种情况，
∵EF=GF，FA⊥EG，
∴A为EG的中点，
∵在直角三角形EDG中，A为EG的中点，
∴，
∵△AED∽△CFD，
∴，
∴；
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（3）∵，AB=3，
∴，
∵△AED∽△CFD，
∴，
∴，，
∴，
在直角三角形AEF中，，
∴
在直角三角形DEF中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴
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3．（2021·北京师范大学实验华夏女子中学九年级期中）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，给出如下定义：记线段AB的中点为，当点不在⊙O上时，平移线段，使点落在⊙O上，得到线段（分别为点的对应点）．线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．
（1）已知点的坐标为（－1，0），点在x轴上．
①若点与原点重合，则线段到⊙O的“平移距离”为________；
②若线段到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为________；
（2）若点都在直线上，＝2，记线段到⊙O的“平移距离”为，求的最小值；
（3）若点的坐标为（－4，－2），AB＝2，记线段到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①；②(-5，0)或(7，0)；（2）；（3）
【详解】
（1）①当B与原点O重合时，AB中点为，移动最小距离为向左平移到⊙O上．
故答案为：．
②当“平移距离”为2时，如图：
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有两种情况：①当为时，，AB=4， 为．
②当为时，，AB=8，B为．
故答案为： 或．
（2）如图：
直线如图l，当l平移到m位置时，最小；即平移到直线m与⊙O相切时，最小．
过点O作于E，
则
设直线OE为y=kx，
，
∴，即，
∴．
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联立方程组，
解得：，
∴E为，
∴，
∴．
（3）∵，
∴AM=1，
即M点在以A为圆心，半径为1的圆上，如图所示：
连接OA 交⊙A于E、F，可知：当M在点F时，最小；在点E时，最大．
当M在F时，