专练12（几何证明大题）（30题）2022中考数学考点必杀500题（人教版）（解析版）.docx

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2022中考考点必杀500题
专练12（几何证明大题）（30道）
三角形
1．（2022·上海徐汇·二模）如图，四边形ABCE中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF⊥CE于点F，点D为BF上一点，且∠BAD＝∠CAE．
(1)求证：AD＝AE；
(2)设BF交AC于点G，若，判断四边形ADFE的形状，并证明．
【答案】(1)证明见解析；
(2)四边形ADFE是正方形，证明见解析．
【解析】
(1)
证明：∠BAC＝90°，BF⊥CE，
，，
，
，
在和中，
≌，
；
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(2)
四边形ADFE是正方形．
证明：在中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
，
，
，即，
，
，
∠BAC＝90°，
，
，
，，
四边形ADFE是矩形，
由（1）知，
四边形ADFE是正方形．
【点睛】
本题为几何证明综合题，涉及到三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定和正方形的判定，熟练掌握相关知识点，并能根据题中条件与所证结准确寻找到思路是解决问题的关键．
2．（2022·湖北宜昌·一模）如图，在平行四边形ABCD中，，EA是∠BEF的角平分线，求证：
(1)；
(2)．
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【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
(1)
证明：∵EA是∠BEF的角平分线，
，
在和中，
，
(AAS)
(2)
∵平行四边形ABCD，
∴ ， ， ，
， ，
由（1）得：，
，
，
又，， ，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定与性质，等角的补角相等，角平分线定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
3．（2022·四川广元·一模）如图，在中，，D是上一点，且
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，于点F，于点E，交于点G．
(1)求证：；
(2)若，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：∵，
∴，
∵∠ACB=75°，
∴．
∵，
∴．
∴，∠FCD=90°-∠ADC=30°．
∴．
∴．
∵，∠ADC=60°，
∴∠FAG=90°-∠ADC=30°．
∴∠FAG=∠FCD．
∴．
(2)
解：∵，，
∴，．
∴．
∵∠FCD=30°，AE⊥BC，
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∴．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，角的和差关系，直角三角形两个锐角互余，同角的余角相等，全等三角形的判定定理和性质，30°所对的直角边是斜边的一半，综合应用这些知识点是解题关键．
4．（2022·上海嘉定·二模）如图，已知平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接AC．
(1)求证：AD＝CF；
(2)若AB⊥AF，且AB＝8，BC＝5，求sin∠ACE的值．
【答案】(1)见解析；
(2)
【解析】
(1)
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠D=∠DCF，∠DAF=∠F，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD=CF；
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，CD=AB=8，AD=BC=5，
∵AB⊥AF，
∴CD⊥AF，
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在Rt△ADE中，DE=4，AD=5，
∴AE=3，
在Rt△ACE中，CE=4，AE=3，
∴AC=5，
∴sin∠ACE=．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．
5．（2022·江苏盐城·一模）在四边形ABCD中，，对角线AC平分∠BAD．
(1)推理证明：如图1，若，且，求证：；
(2)问题探究：如图2，若，试探究AD、AB、AC之间的数量关系；
(3)迁移应用：如图3，若，AD=2，AB=4，求线段AC的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【解析】
(1)
证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
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∴，，
∴．
(2)
解：；
过点C作于点E，过点C作的延长线于点F，
∵平分，
∴，，
∵，
而，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴．
(3)
过