人教版初中数学专题27 特殊三角形【考点精讲】（解析版）.docx

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专题27 特殊三角形

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考点1：等腰三角形的性质与判定
1．定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.
2．性质:① 等腰三角形的两腰相等;
② 等腰三角形的两底角相等，即“等边对等角”;
③ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”;
④ 等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边的垂直平分线. 
3．判定:
① 有两条边相等的三角形是等腰三角形;
② 有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”.

【例1】（2021·江苏扬州市）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
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【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】
解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
故共有3个点，
故选：B．
【例2】（2021·浙江绍兴市）如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是_______．
【答案】或
【分析】分①点P在BC的延长线上，②点P在CB的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】
解：①当点P在BC的延长线上时，如图
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∵，，
∴
∴
∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，
∴AC=PC
∴
∵
∴
∴
②当点P在CB的延长线上时，如图
由①得，
∵AC=PC
∴
∴
故答案为：或
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1．（2020•福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）
A．10 B．5 C．4 D．3
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【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【解析】∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，
∴CD＝5．
故选：B．
2．（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　 　．
【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解析】①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，
∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
此时能组成三角形，
所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
3．（2021·湖南）如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）由题意易得，，则有，然后问题可求证；
（2）由（1）可得，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】
（1）证明：∵，
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∴，即，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴根据三角形内角和可得，
∴，
由（1）可得，
∵，
∴，
∴．
考点2：等边三角形的性质与判定
1．定义:三边相等的三角形是等边三角形.
2．性质:
① 等边三角形的三边相等,三角相等,且都等于60°;
② “三线合一”;
③ 等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴. 
3．判定:
① 三条边都相等的三角形是等边三角形;
② 三个角都相等的三角形是等边三角形;
③ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 

【例3】（2021·广东）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．
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