专练14（几何压轴大题）（30题）2022中考数学考点必杀500题（人教版）（解析版）.docx

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2022中考考点必杀500题
专练14（几何压轴大题）（30道）
1．（2022·浙江杭州·一模）如图，已知扇形AOB的半径，，点C，D分别在半径OA，OB上（点C不与点A重合），连结CD．
(1)当，时，求OC的长．
(2)点P是弧AB上一点，．
①当点D与点B重合，点P为弧AB的中点时，求证：．
②当，时，求的值．
【答案】(1)3；
(2)①证明见解析；②；
【解析】
(1)
解： Rt△ODC中，，设OC=4a，CD=5a，则OD=，sin∠OCD==，
设OD=x，则BD=CD=（8-x），则
，解得：x=3，
∴OC的长为3；
(2)
解：①如图，连接OP，AP，
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∵P是弧AB的中点，∴∠POB=∠AOB=45°，PB=PA，
△OPB中，OP=OB，则∠OPB=∠OBP=（180°-∠POB）=67.5°，
△OPA中，OP=OA，则∠OAP=∠OPA=（180°-∠POA）=67.5°，
∴∠APB=∠OPA+∠OPB=135°，
∵PB=PB=BA，∴∠PAC=∠PCA=67.5°，
△PAC中，∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=45°，
∴∠CPB=∠APB-∠APC=90°，
∴PC⊥PD；
②如图，连接OP，过C作CE⊥PD于E，
∵∠COD=∠ODP=∠DEC=90°，∴四边形CODE是矩形，
∴DE=OC=4，CE=OD，
设PC=PD=x，则PE=（x-4），
Rt△PEC中，，Rt△POD中，，
∴=，，解得：，
∵x＞0，∴，
∵△PCD面积=，△OCD面积=，CE=OD，
∴==；
【点睛】
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本题考查了解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识；此题综合性强，正确作出辅助线是解题关键．
2．（2022·河北保定外国语学校一模）如图，点P在射线的上方，、，点M是射线上的动点（点M不与点A重合），现将点P绕点A按顺时针方向旋转到点Q，将点M绕点P按逆时针方向旋转到点N，连接，作直线．
(1)求证：；
(2)直线与以点P为圆心，的长为半径的圆是否存在相切的情况？若存在，请求出此时和的关系，若不存在，请说明理由；
(3)若，当以点P为圆心，长为半径的圆经过点Q时，直接写出劣弧与两条半径所围成的扇形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)存在，
(3)
(1)
证明：如图1，连接，由点P绕点A按顺时针方向旋转到点Q，可得，，
∴为等边三角形，
∴，由点M绕点P按逆时针方向旋转到点N，可得，，
∴，
则，
∴．

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(2)
存在，如图2，由（1）中的证明可知，，
∴，
∵直线与以点P为圆心，的长为半径的圆相切，
∴，
∵，
∴．
∴
(3)
，
如图3，由（1）知，是等边三角形，∴，
∵以点P为圆心，的长为半径的圆经过点Q，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴劣弧与两条半径所围成的扇形的面积是扇形的面积，而此扇形的圆心角，半径为，
∴劣弧与两条半径所围成的扇形的面积．
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【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，切线的性质，扇形的面积公式，解(1) 的关键是得出PA = PQ，解(2)的关键是得出PN⊥QN，解(3)的关键是得出PN= PQ= PA，解本题的难点是画出符合题意的图形．
3．（2022·河北保定外国语学校一模）在中，，，点D是线段上一点，且不与点A、点B重合．
(1)当点D为中点时，的长为__________；
(2)如图1，过点D作于点M，于点N．的值是否为定值．如果是请求出定值；如果不是，请说明理由；
(3)将沿着过点D的直线折叠，使点B落作边的点P处（不与点A、C重合），折痕交边于点E；
①如图2，当点D是的中点时，求的长度；
②如图3，设，若存在两次不同的折痕，使点B落在边上两个不同的位置，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)6
(2)是定值，
(3)①；②
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【解析】
(1)
解：∵点D为中点
又
∴CD⊥AB
∵
∴CD=
∴
故答案为：6；
(2)
解：的值是定值，连接，过点C作于H．
∵，
∴，
∵，
，由（1）得，
∴，
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