专题六 几何最值问题-简单数学之2022年中考二轮专题复习（解析版）（人教版）.docx

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专题六 几何最值问题
一、最短路径问题
例题（2022·全国·八年级）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请在横线上补充其推理过程或理由．
解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，连接PB′
∵ ∠ACB＝90°（已知）
∴ 　 （垂直的定义）
∴ PB＝　 （线段垂直平分线的性质）
∴ PB+PD＝PB′+PD（等式性质）
∴ 过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′，
在△ABC和△AB′C中，
∵ AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′＝90°， 　 　∴ △ABC≌△AB′C（理由：　 　）
∴ S△ABB′＝S△ABC+ 　 ＝2S△ABC（全等三角形面积相等）
∵ S△ABB′＝12AB﹒B'D＝12×10×B′D＝5B′D
又∵S△ABB′=2S△ABC＝2×12BC﹒AC＝2×12×6×8＝48
∴ 　 （同一三角形面积相等）
∴ B′D＝485
∴ 　 　
【答案】AC⊥BB'；PB'；BC=B′C；SAS；S△AB'C；12AB•B′D＝48；PB+PD的最小值为485
【解析】
【分析】
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作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB′，根据对称性的性质，BP=B′P，证明△ABC≌△AB′C，根据S△ABB′=S△ABC+S△AB′C=2S△ABC，即可求出PB+PD的最小值．
【详解】
解：如图2，延长BC到点B′，使得BC=B′C，连接PB′，
∵∠ACB=90°（已知），
∴ AC⊥BB'（垂直的定义），
∴PB=PB'（线段垂直平分线的性质），
∴PB+PD=PB′+PD（等式性质），
∴过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′．
在△ABC和△AB′C中，
∵AC=AC，∠ACB=∠ACB′=90°，BC=B′C，
∴△ABC≌△AB′C（理由：SAS），
∴SABB′=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC（全等三角形面积相等），
∵S△ABB′=12×AB×B'D=12×10×B′D=5B′D，
又∵S△ABB′=2S△ABC=2×12×BC×AC=2×12×6×8=48，
∴ 12AB•B′D＝48（同一三角形面积相等），
∴B′D=485，
∴ PB+PD的最小值为485．
故答案为：AC⊥BB'；PB'；BC=B′C；SAS；S△AB'C；12AB•B′D＝48；PB+PD的最小值为485．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是轴对称-最短路线问题的处理：作对称点．
练****题
1．（2020·山东·东营市实验中学三模）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是______．
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【答案】10
【解析】
【分析】
要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，
∴BN＝ND，
∴DN＋MN＝BN＋MN，
连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，
BN＋MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，
∴BM＝62+82＝10，
∴DN＋MN的最小值是10．
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
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2．（2022·广西·上思县教育科学研究所八年级期末）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠A'BC'=60°，A'B=AB=BC=2，证明△CBD≌△A'BD，得到CD=A'D，推出当A、D、