第13讲 轴对称与旋转（压轴题组）（解析版）-2022年中考数学大复习（人教版）.docx

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第13讲 轴对称与旋转（压轴题组）
1．综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将平行四边形ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此平行四边形ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】（1）EF=BF，理由见解析； （2）AG=BG，理由见解析； （3） ．
【详解】
解：（1）结论：EF=BF，理由如下：
如图，过点F作FH∥AD交BE于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
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∵FH∥AD，
∴DE∥FH∥CB，
∵F为CD的中点，即DF=CF，
∴
∴EH=HB，
∵BE⊥AD，FH∥AD，
∴FH⊥EB，
∴EF=BF；
（2）结论：AG=BG，理由如下：
连接 ，
由折叠知识得： ， ，
∵DF=FC，
∴，
∴ ，
∴，
∴
∴ ，
∴DG∥BF，
∵DF∥BG，
∴四边形DFBG是平行四边形，
∴DF=BG，
∵ ，
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∴ ，
∴AG=GB；
（3）如图，过点D作DJ⊥AB于点J，过点M作MT⊥AB于点T，
∵S平行四边形ABCD=AB×DJ，
∴DJ= ，
∵BC＝2，
∴ ，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∵ ，
∴ ，
∵DJ⊥AB，
∴∠DJB=∠JBH=∠DHB=90°，
∴四边形DJBH是矩形，
∴BH=DJ=4，
∴ ，
∵MT⊥AB，DJ⊥AB，
∴MT∥DJ，
∴ △ATM∽△ADJ，
∴ ，
∴，
设AT=x，则MT=2x，
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根据折叠得： ，
∴MT=TB=2x，
∴3x=5，解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ △ADJ∽△A＇NH，
∴ ，
∴ ，
∴NH=2，
∴ ，
∴ ．
2．（2021·山东中区·九年级期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．
（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标 ；
（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．
（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接BC、、、．
①当四边形为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．
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【答案】（1）(1，﹣2)，(1，2)；（2）y＝2（x﹣1）2﹣5；（3）①a＝；②≤a≤1或﹣≤a＜﹣
【详解】
解：（1）由y1＝（x﹣1）2﹣2知顶点坐标为（1，﹣2），
由y2＝﹣（x﹣1）2+2知顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，﹣2），（1，2）．
（2）∵y＝﹣2x2+4x+3y＝﹣2（x﹣1）2+5，
∴“同轴对称抛物线”的解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣5．
（3）①当x＝1时，y＝1﹣3a，
∴B（1，1﹣3a），
∴C（1，3a﹣1），
∴BC＝|1﹣3a﹣（3a﹣1）|＝|2﹣6a|，
∵抛物线L的对称轴为直线x＝＝2，
∴点B'（3，1﹣3a），
∴BB'＝3﹣1＝2，
∵四边形BB'C'C是正方形，
∴BC＝BB'，即|2﹣6a|＝2，
解得：a＝0（舍）或a＝．
②抛物线L的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1﹣4a），
∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，