专题九 以图形变换为背景的四边形问题（34题100页） -简单数学之2022年中考二轮专题复习（解析版）（人教版）.docx

专题九 以图形变换为背景的四边形问题
一、以平移为背景的问题
例题1如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系内，已知．
（1）点C的坐标是（___，__）；
（2）若将平行四边形OABC绕点O逆时针旋转得OFDE，DF交OC于点P，交y轴于点F，求的面积；
（3）在（2）的情形下，若再将平行四边形OFDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为d，当平移后的平行四边形与平行四边形OABC重叠部分为五边形时，设其面积为S，试求出S关于d的函数关系式，并直接写出d的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）结合平行四边形的性质，即可求得点的坐标；
（2）依据旋转、平行四边形的性质可得，结合三角函数可求得，，又，即可求得的面积；
（3）由题可得平移的图形与平行四边形重叠部分的面积为五边形时，即；由图可得当恰好过点时，即；重叠部分五边形面积为：；
【详解】
（1）由平行四边形的性质，可知：，又点与点的纵坐标相同；
∴点的坐标；
（2）由旋转的性质，可得：
，
∴，
∴，
由，
∴ ；
∴ ；
（3）由题可得平移的图形与平行四边形重叠部分的面积为五边形时，即；
由图可得当恰好过点时，即；
∴ 沿轴平移的范围：；
如图可得：重叠部分五边形面积为：；                                                
当时，
；
∴ ；
∴ ；
所以重叠五边形面积为：
；
【点睛】
本题主要考查平行四边形、旋转性质，关键在利用旋转进行角度关系求解进行三角形函数的应用，特别是针对面积利用三角函数关系，求解属于灵活应用的难点；
练****题
1．将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′．
（1）在图2中，除△ADC与△C′BA′全等外，请写出其他2组全等三角形；①　 　；②　 　；
（2）请选择（1）中的一组全等三角形加以证明．
【答案】（1）△AA′E≌△C′CF；△A′DF≌△CBE；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）依据图形即可得到2组全等三角形：①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；
（2）依据平移的性质以及矩形的性质，即可得到判定全等三角形的条件．
【详解】
解：（1）由图可得，①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；
故答案为△AA′E≌△C′CF；△A′DF≌△CBE；
（2）选△AA′E≌△C′CF，证明如下：
由平移性质，得AA′＝C′C，
由矩形性质，得∠A＝∠C′，∠AA′E＝∠C′CF＝90°，
∴△AA′E≌△C′CF（ASA）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定以及矩形的性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了平移的性质．
2．如图，将边长为 4 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ABC沿着 AD 方向平移，得到 △A¢B¢C¢ ．
（1）当两个三角形重叠部分的面积为 3 时，求移动的距离 AA¢ ；
（2）当移动的距离 AA¢ 是何值时，重叠部分是菱形．
【答案】（1）AA¢ =1或3；（2）AA¢ =时，重叠部分是菱形．
【解析】
【分析】
（1）根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，设AA′=x，AC与A′B′相交于点E，则A′D=4－x，△AA′E是等腰直角三角形，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解；
（2）设A¢C¢与CD交于点F，当四边形A′ECF是菱形时，有A′E=A′F，设AA′=x，则A′E=x，A′D=4－x，再由A′F=A′D，可得方程，解之即得结果.
【详解】
（1）设AA′=x，AC与A′B′相交于点E，如图，
∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴△AA′E是等腰直角三角形，
∴A′E=AA′=x，A′D=AD－AA′=4－x，
∵阴影部分面积为3，
∴x(4－x)=3，
整理得，x2－4x+3=0，
解得x1=1，x2=3，
即移动的距离AA′=1或3.
（2）设A¢C¢与CD交于点F，当四边形A′ECF是菱形时，A′E=A′F，
设AA′=x，则A′E=CF=x，A′D=DF=4－x，
∵△A′DF是等腰直角三角形，
∴A′F=A′D，
即，
解得，
即当移动的距离为时，重叠部分是菱形.
【点睛】
本题考查了平移的性质、等腰直角三