第14讲 圆（易错点梳理+微练习）（解析版）-2022年中考数学大复习（人教版）.docx

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第14讲 圆易错点梳理
易错点梳理
易错点01 在弧、弦、圆心角之间的关系中忽略“在同圆或等圆中”这一前提条件
只有“在同圆或等圆中”，弧、弦、圆心角之间的关系才能成立。
易错点02 忽视弦所对的圆周角的多种可能而漏解
忽视弦所对的圆周角的多种可能而漏解在同一个圆中，一条弦对着两种圆周角，这两种圆周角互补。
易错点03 忽视弦的位置的不同情况而漏解
在同一个圆中，求两条平行弦的距离时，两条弦可能在圆心的同侧，也可能在圆心的两侧，解题时应分类讨论。
易错点04 混淆三角形的外心和内心
三角形的内心是指三角形内切圆的圆心，是三角形3条角平分线的交点；三角形的外心是指三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点.。
例题分析
考向01 与圆有关的性质
例题1：（2021·山东临清·九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
【答案】C
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【思路分析】连接BC，证明∠ACB＝90°，∠DCB＝20°，可得结论．
【解析】解：连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DCB＝∠DEB＝20°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DCB＝70°，
故选：C．
【点拨】本题主要考查圆周角定理，准确分析计算是解题的关键．
例题2：（2021·山东陵城·九年级期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（　　）
A．40cm2 B．20cm2 C．10cm2 D．5cm2
【答案】D
【思路分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，从而得到OC的长，即可求出△BOC的面积，再根据三线合一定理得到BF=CF，则，由此求解即可．
【解析】解：连接OB，
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∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．
∴，
在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2
解得：OE=3cm，
∴，
∴，
∵OB=OC，OF⊥BC，
∴BF=CF，
∴
∴，
故选D．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．
考向02 与圆有关的位置关系
例题3：下列说法：①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；⑤圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【思路分析】由垂径定理的推论可判断①，由圆心角，弧，弦之间的关系可判断②③，由不在同一直线上的三点确定一个圆可判断④，由圆的对称轴是直线可判断⑤，由三角形的外心的性质可判断⑥，从而可得答案.
【解析】解：当被平分的这条弦是直径时，平分弦的直径，不平分这条弦所对的弧；故①不符合题意；
在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也不一定相等；因为圆当中任意一条弦都与两条弧相对，故②不符合题意；等弧所对的圆心角相等；正确，故③符合题意；过不在同一直线上的三点可以画一个圆；故④不符合题意；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；故⑤不符合题意；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．故⑥不符合题意；故选A
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【点拨】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理的推论，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三角形的外心的性质，掌握以上基础知识是解题的关键.
例题4：（2021·山东·德州市第九中学九年级期中）如图，在Rt△AOB中，OB＝4，∠A＝30°，⊙O的半径为3，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路分析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，根据切线的性质得到OQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝，根据垂线段最短得到当OP⊥AB时，OP最小，根据30度角直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
∴PQ＝＝，
当OP最小时，线段PQ的长度最小，
当OP⊥AB时，OP最小，
在Rt△AOB中，∠A＝30°，，
∴，