人教版初中数学专题25 三角形的有关概念和性质【考点精讲】（解析版）.docx

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专题25 三角形的有关概念和性质
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知识精讲
考点1：三角形的相关概念与计算
1．三角形的边角关系
（1）三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
（3）三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2．三角形分类
（1）等边三角形：三边都相等的三角形.
（2）等腰三角形：有两条边相等的三角形.
（3）在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.

【例1】（2021·辽宁）一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ）
A．80° B．95° C．100° D．110°
【答案】B
【分析】由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可．
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【详解】
解：如图，∠A=90°-30°=60°，
∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°，
∴∠3=∠4=35°，
∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°，
故选：B．
【例2】（2021·湖南娄底市）是某三角形三边的长，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
【答案】D
【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】
解：是三角形的三边，
，
解得：，
，
故选：D．
方法技巧
三角形三边关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的应用
（1）在实际应用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形.
（2）在实际应用中，已知两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和.
（3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形.
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针对训练
1．（2021·湖北）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设AB与EF交于点M，根据，得到，再根据三角形的内角和定理求出结果．
【详解】
解：设AB与EF交于点M，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∵,
∴=，
故选：A．
．
2．（2021·安徽）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】
由图可得
∵，
∴
∴
故选：C．
3．（2020•绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不
允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．
【详解】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B．
考点2：三角形的角平分线，中线，高，中位线，内心，外心
（1）三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高。三角形三边的高的交点叫做三角形的垂心。
（2）三角形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。三角形三边的中线的交点叫做三角形的重心。
（3）三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线
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。三角形的三个内角的平分线的交点叫做三角形的内心。

【例3】如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，