人教版专题10 锐角三角函数及其运用（讲+练）-2022年中考数学二轮复习核心专题复习攻略（解析版）.docx

专题10 锐角三角函数及其运用复****考点攻略
考点一 锐角三角函数
锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA=；
余弦：cosA=；
正切：tanA=．
【注意】根据定义求三角函数值时，一定要根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
【例1】如图，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=3，BC=2，∴sinA==，故选A．
考点二 特殊角的三角函数值
α
sinα
tanα
30°
45°
1
60°
【例2】的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】把sin45°=代入原式得：原式=2×=．故选C．
考点三 解直角三角形
1．在直角三角形中，求直角三角形所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；
（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；
（4）sin2A+cos2A=1．
3．科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；
已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
已知直边求斜边，用除还需正余弦.
【例3】如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 ________ 米 （结果保留根号）

【答案】
【解析】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴，故答案为：．
【例4】如图，大海中有和两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线上点处测得，；在点处测得，，．
⑴ 判断、的数量关系，并说明理由
⑵ 求两个岛屿和之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，
，，，，）







【答案】（1）见解析；（2）3.6km
【解析】（1）相等，证明：∵，，∴，
．又∵，∴．
在与中，，，，
∴，∴．
（2）作，垂足为，
设，则，，．
中，，∴，即，
∴，即．
考点四 锐角三角函数的应用
1．仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2．坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．
坡度越大，α角越大，坡面越陡．
3．方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

5．解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
6.解直角三角形应用题应注意的问题：
（1） 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；
（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；
（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；
（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．
【例5】如图，一名滑雪爱好者先从山脚下A处沿登山步道走到点B处，再沿索道乘坐缆车到达顶部C．已知在点A处观测点C，得仰角为35°，且A，B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：1，长度为2600米，求山的高度（即点C到AE的距离）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0