第10讲 三角形与全等三角形（压轴题组）（解析版）-2022年中考数学大复习（人教版）.docx

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第10讲 三角形与全等三角形（压轴题组）
1．（2021·江西赣州·九年级期中）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方旋转90°，得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC
（2）如图2，连接HG和GF，其中HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时，△AQG为等腰三角形？
【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②EH= 或；
【详解】
（1）证明：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，
∴AB=AC，
∵线段AH绕点A逆时针方旋转90°，得到AG，
∴AH=AG，∠HAD=90°，
∴∠BAH+∠HAF=∠HAF+∠CAG=90°，
∴∠BAH=∠CAG，
在△ABH和△ABG中，
，
∴△ABH≌△ABG（SAS），
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（2）①证明：∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴AE=，AF=，EF∥BC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=，
在△AEH和△AFG中，
，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AEH=∠AFG=45°，
∴∠HFG=∠AFE+∠AFG=45°+45°=90°，
∴∠HFG＝90°；
②解：∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°，
根据勾股定理，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF=，
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∵△AQG为等腰三角形
分三种情况
当AQ=GQ时，
∵AH=AG，∠HAG=90°，
∴∠AHG=∠AGH=，
∴∠QAG=∠QGA=45°，
∴∠AQG=180°-∠QAG-∠QGA=90°，
∴HG⊥AC，
∴∠HAQ=90°-∠QAG=90°-45°=45°，
∴∠EAH=90°-∠HAQ=90°-45°=45°，
∴AH平分∠EAF，AE=AF，
∴EH=HF=
当AG=GQ=AH，∠AGQ=45°，
∴∠GAQ=∠GQA=，
∴∠EAH=∠QAG=67.5，
∴∠AHE=180°-∠AEH-∠EAH=180°-45°-67.5°=67.5°
∴∠EAH=∠EHA=67.5°
∴EH=AE=；
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当AQ=QG时，过A作AM⊥HG于M，
∵∠AQG是△AQM的外角，
∴∠AQG＞∠AMQ=90°＞∠AGQ=45°，
∴AQ=AG不成立．
综合得EH=或2．
2．（2021·北京市第三十一中学九年级期中）四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF＝90°，BE＝EF．G为DF的中点，连接EG，CG ，EC．
（1）如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；
（2）将图1中的△BEF绕点B顺时针方向旋转至图2所示位置，在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）将图1中的△BEF，绕点B顺时针旋转（0°＜＜90°），若BE＝1，AB＝，当E，F，D三点共线时，求DF的长．
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【答案】（1）EG⊥CG，＝，（2）结论还成立，证明见解析，（3）﹣1．
【详解】
解：（1）EG⊥CG，＝，
延长EG交CD延长线于H，
∵EF∥DC，
∴∠FEG＝∠DHG，
在△EFG和△HDG中

∴△EFG≌△HDG，
∴DH＝EF=BE，EG＝GH，
∵∠DCB＝90°，BC＝CD，
∴CE＝CH，
∴EG＝GC，EG⊥GC，
即△EGC是等腰直角三角形，
∴＝；
（2）结论还成立，
理由是：如图2，延长EG到H，使EG＝GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，
∵在△EFG和△HDG中
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∴△EFG≌△HDG（SAS），
∴DH＝EF＝BE，∠FEG＝∠DHG，
∴EF∥DH，
又∵ER∥CD，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3＝∠4，
∴∠EBC＝180°﹣∠4＝180°﹣∠1＝∠HDC，
在△EBC和△HDC中

∴△EBC≌△HDC．
∴CE＝CH，∠BCE＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠DCH+∠ECD＝∠BCE+∠ECD＝∠BCD＝90°，