专题31 特殊平行四边形【考点精讲】-【人教版】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版）.docx

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专题31 特殊平行四边形

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知识精讲
考点1：菱形的性质与判定
1．定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质:菱形的四条边相等,两条对角线互垂直平分,且每一条对角线平分一组对角. 
3．判定方法:
①一组邻边相等的平行四边形是菱形; 
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形; 
③四条边都相等的四边形是菱形. 
4．设菱形对角线长分别为l1,l2,则S菱形=l1l2.

【例1】（2021·广东）下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）
【答案】B
【分析】
正确的命题叫真命题，根据定义解答．
【详解】
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解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）是真命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（2）不是真命题；
对角线相等的平行四边形是矩形，故（3）不是真命题；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，故（4）是真命题；
故选：B．
【例2】（2021·辽宁）如图，在中，点O是的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见详解；（2）四边形ACDE是菱形，理由见详解．
【分析】
（1）利用平行四边形的性质，即可判定，即可得到，再根据CD∥AE，即可证得四边形ACDE是平行四边形；
（2）利用（1）的结论和平行四边形的性质可得AC=CD，由此即可判定是菱形．
【详解】
（1）证明：在ABCD中，AB∥CD，
∴，
∵点O为AD的中点，
∴，
在与中，
∵，
，
，
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∴，
∴，
又∵BE∥CD ，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：由（1）知四边形ACDE是平行四边形，，
∵，
∴，
∴四边形ACDE是菱形．
方法技巧
菱形的证明方法（三种）
①先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明平行四边形ABCD的任一组邻边相等.
②先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明平行四边形ABCD的对角线互相垂直.
③证明四边形ABCD的四条边相等.
针对训练
1．（2021·四川成都市·中考真题）如图，四边形是菱形，点E，F分别在边上，添加以下条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角形全等判定定理SAS可判定A，三角形全等判定定理AAS可判定B，三角形全等判定定理可判定C，三角形全等判定定理AAS可判定D即可．
【详解】
解: ∵四边形是菱形，
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∴AB=AD,∠B=∠D,
A. 添加可以，
在△ABE和△ADF中，
，
∴(SAS)，
故选项A可以；
B.添加 可以，
在△ABE和△ADF中
，
∴(AAS)；
故选项B可以；
C. 添加不可以，条件是边边角故不能判定；
故选项C不可以；
D. 添加可以，
在△ABE和△ADF中
，
∴(SAS)．
故选项D可以；
故选择C．
2．（2021·辽宁鞍山）如图，在中，G为BC边上一点，，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
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【答案】见解析
【分析】
先证四边形AEDF是平行四边形，再证，则，即可得出结论．
【解析】
证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，
四边形AEDF是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
平行四边形AEDF是菱形．
3．（2021·山东滨州·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若，，求菱形AOBE的面积．
【答案】（1）证明过程见解答；（2）
【分析】
（1）根据BE∥AC，AE∥BD，可以得到四边形AOBE是平行四边形，然后根据矩形的性质，可以得到OA=OB，由菱形的定义可以得到结论成立；
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