专题三 函数综合问题（一次函数+反比例函数）-简单数学之2022年中考二轮专题复习（解析版）（人教版）.docx

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专题三 函数的综合问题专题三 函数综合问题（一次函数+反比例函数）
一、以一次函数为背景的综合问题
例题（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3分别交x轴，y轴于点A，B．∠OBA的外角平分线交x轴于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）点P是线段BD上的一点（不与B，D重合），过点P作PC⊥BD交x轴于点C．设点P的横坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，PC的延长线交y轴于点E，BC的延长线交DE于点F，连AP，若sin∠BAP＝，求线段OF的长．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
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（1）利用角平分线的性质定理和等面积法解题；
（2）求面积先求底和高，利用三角形相似二次求解；
（3）先根据的正弦值求出点的位置，再根据题目的顺序求出点的坐标，最后求的长度．
【详解】
解：（1）过点作于点，
则：，，
当时，；当时，，
，，
，，
，
，
，
，
解得：，
，
点的坐标为．
（2）过点作于点，
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则：，
点在直线上，且点的横坐标为，
，
，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
．
（3）过点作于点，作于点，
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则：，，
设直线的解析式为：，
把，代入，得：
，解得：．
点在直线上，且点的横坐标为，
，
，，
，
，
，
，
，
，
解得：，（舍，
，
，
所在直线的为，
设，
把点代入，得：，
，
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，
当时，；时，，
，，
设，
把点，代入，得：
，解得：，
①，
设，
把，代入，得：
，解得：，
②，
联立①②，解得：，
．
【点睛】
本题是一个综合应用题，考查了学生对角平分线的性质定理、三角形相似的性质与判定、一次函数的应用、解直角三角形等知识点的掌握情况，解题的时利用相关知识求出关键线段和点是解题的关键．
练****题
1．（2021·吉林双阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，两条直线分别为y＝2x，y＝kx，且点A在直线y＝2x上，点B在直线y＝kx上，AB∥x轴，AD⊥x轴，BC⊥x轴垂足分别为D和C，若四边形ABCD为正方形时，则k＝（　　）
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A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
设，根据正方形的性质可得，将代入中，即可求出k的值．
【详解】
解： 设
∵四边形ABCD为正方形
∴
将代入中
解得
故选：C．
【点睛】
此题考查了一次函数的几何问题，解题的关键是掌握一次函数的解析式以及性质、正方形的性质．
2．（2021·山东槐荫·二模）如图，点B，C分别在直线y＝2x和直线y＝kx上，A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是长方形，且AB：AD＝1：3，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
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【分析】
设点B的坐标为（m，2m），结合矩形的性质可得出OA，AB，CD的长，由AB：AD＝1：3可得出AD的长，结合OD＝OA+AD可求出OD的长，进而可得出点C的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出k值．
【详解】
解：设点B的坐标为（m，2m），CD＝AB＝2m，OA=m
∵AB：AD＝1：3，
∴AD＝3AB＝6m，
∴OD＝OA+AD＝7m，
∴点C的坐标为（7m，2m）．
∵点C在直线y＝kx上，
∴2m＝7km，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，用字母表示出点C的坐标是解题的关键.
3．（2021·山东广饶·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC满足点O在原点，点A坐标为（2，0），∠AOC＝60°，直线y＝﹣3x＋b与菱形OABC有交点，则b的取值范围是___．
【答案】##
【解析】
【分析】
作CM⊥OA于点M，BN⊥OA于点N，求出B的坐标，然后代入一次函数解析式中，求出b的最大值，再将原点代入一次函数解析式中求出b的最小值即可．
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