第14讲 圆（压轴题组）（解析版）-2022年中考数学大复习（人教版）.docx

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第14讲 圆（压轴题组）
1．（2021·浙江省宁波市实验学校九年级期中）给出定义：有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形．
（1）如图1，在倍对角四边形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，求∠B与∠C的度数之和；
（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF是倍对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当4DH＝3BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．
【答案】（1）120°；（2）见解析；（3）
【详解】
（1）解：在倍对角四边形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴3∠B+∠3∠C＝360°，
∴∠B+∠C＝120°，
∴∠B与∠C的度数之和为120°；
（2）证明：在△BED与△BEO中，
，
∴△BED≌△BEO（SAS），
∴∠BDE＝∠BEO，
∵∠BOE＝2∠BCF，
∴∠BDE＝2∠BCF
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连接OC，
设∠EAF＝α，则∠AFE＝2α，
∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝α，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，
∴∠EFC＝∠AOC＝2∠ABC，
∴四边形DBCF是倍对角四边形；
（3）解：过点O作OM⊥BC于M，
∵四边形DBCF是倍对角四边形，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴BC＝2BM＝BO＝BD，
∵DG⊥OB，
∴∠HGB＝∠BAC＝60°，
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∵∠DBG＝∠CBA，
∴△DBG∽△CBA，
∴＝，
∵4DH＝3BG，BG＝2HG，
∴DG＝GH，
∴＝，
∵
∴＝．
2．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级期中）已知，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD、AC相交于点E，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点C作于点F，交BD于点G，当时，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，当，时，求OH的长．
【答案】
（1）证明见详解；（2）见详解;（3）OH= ．
【详解】
（1）证明：∵，
∴∠ACB=∠ABC，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
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∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠ABC，
∵∠ADC=∠CDB+∠ADB，
∴∠ADC+∠ABC=∠CDB+∠ADB+∠ADB=∠CDB+2∠ADB=180°，
∴；
（2）证明：过点C作CN⊥DB，交BD于N，交于M，
∵
∴∠MCB=180°-∠CNB-∠DBC=45°，
∴∠MCB=∠DBC=45°，
∴MB=DC
∵AB=AC，
∴
∴AD=AM
∴∠ACM=∠DBA
∵∠CNG=∠GFB，∠NGC=∠FGB，
∴∠NCG=180°-∠CNG-∠NGC=180°-∠GFB-∠FGB=∠GBF=∠ECN，
在△CEN和△CGN中
∴△CEN≌△CGN（ASA），
∴CE=CG;
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（3）解：过C作CP//AH交BD于P，连结AP，连结OE，连结CH，延长AO交BC于Q，过O作OM⊥AB于M，
∵E为AC中点，OE为弦心距，
∴OE⊥AC，
∵AB=AC，
∴OE=OM，
∴AQ平分∠CAB，
∴AQ⊥BC，
∵CQ=BQ，点H在AQ上，
∴CH=BH，
∵∠DBC=45°，
∴∠HCB=∠DBC=45°，
∴∠CHB=180°-∠HCB-∠DBC=90°，
∴CH⊥BD，
∵CE=CG，
∴EH=GH=3，
∵CP//AH，
∴∠PCE=∠HAE，
在△PCE和△HAE中，
，
∴△PCE≌△HAE（AAS），
∴PE=HE=3，
∵PE=HE，CE=AE，
∴四边形PAHC为平行四边形，
∴AP=CH，∠APH=∠CHP=90°，
∵∠HBQ=45°，∠HQB=90°，
∴∠QHB=180°-∠HBQ-∠HQB=180°-90°-45°=45°，
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