专题29 锐角三角函数与运用【考点精讲】-【人教版】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版）.docx

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专题29 锐角三角函数与运用
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考点1：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值
1．锐角三角函数的概念
（1）锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.
（2）在△ABC中，∠C=90°,
∠A的正弦sin A=,∠A的余弦cos A=,∠A的正切tan A=.
2．特殊角的三角函数值(填写下表)
三角函数
30°
45°
60°
sin a
cos a
tan a
1

【例1】（2021·湖南）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法的计算法则分别计算即可．
【详解】
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解：A、，此选项正确；
B、，此选项错误；
C、，此选项错误；
D、，此选项错误；
故选：A．
【例2】如图，是的外接圆，CD是的直径．若，弦，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cos∠ABC的值．
【详解】
解：连接AD，如右图所示，
∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD==8，
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∴cos∠ADC==，
∵∠ABC=∠ADC，
∴cos∠ABC的值为，
故选：A．针对训练
1．（2021·天津）的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】
根据30°的正切值直接求解即可．
【详解】
解：由题意可知，，
故选：A．
2．（2021·浙江）如图，已知在中，，则的值是______．
【答案】
【分析】
在直角三角形中，锐角的正弦=锐角的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案．
【详解】
解： ，

故答案为：
考点2：三角函数与图形结合
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【例3】如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　）
A．sinB B．sinC
C．tanB D．sin2B+sin2C＝1
【答案】A
【分析】
根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可．
【详解】
解：由勾股定理得：
,
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴，，，，只有A错误．
故选择：A．
针对训练
1．（2020聊城）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．
【解析】如图，过点A作AH⊥BC于H．
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在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC=，
∴sin∠ACH=，
故选：D．
2．（2020凉山州）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（　　）
A． B． C．2 D．2
【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值．
【解析】如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，
AD=22+22=2，BD=12+12=2，
∴tanA=，
故选：A．
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考点3：解直角三角形
1．解直角三角形
（1）解直角三角形的概念
在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.
（2）直角三角形的解法
直角三角形的解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型:
① 已知一条直角边