专题七 与三角形有关常用几何模型（77题196页）-简单数学之2022年中考二轮专题复习（解析版）（人教版）.docx

1 / 211
学科网（北京）股份有限公司
专题七 与三角形有关常用几何模型
一、角平分线模型
例题1如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析
【解析】
【分析】
（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD；
（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．
【详解】
证：（1）BE＝AD，理由如下：
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
2 / 211
学科网（北京）股份有限公司
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
3 / 211
学科网（北京）股份有限公司
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．
练****题
1．已知：是的角平分线，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，点E在上，连接并延长交于点，交CA的延长线于点，且，连接．
①求证：；
②若，且，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②．
【解析】
【分析】
（1）用证明，即得AB＝AC；
（2）①证明可得，再用证明△FAG≌△FAE，即得；
②过作于，由，可得，，而，故，即得，根据，可求．
【详解】
4 / 211
学科网（北京）股份有限公司
解：（1）证明：是的角平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）①，，，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②过作于，如图：
5 / 211
学科网（北京）股份有限公司
由①知：，
，
，
，
由①知：，
，
，
，
，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的相关知识.
2．在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：；
（2）已知．
①如图1，若，，求CE的长；
②如图2，若，求的大小．
6 / 211
学科网（北京）股份有限公司
【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．
【解析】
【分析】
（1）由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，
（2）在BC上取一点G使BG=BD，构造（SAS），再证明，即可得，由此求出答案；
（3）延长BA到P，使AP=FC，构造（SAS），得PC=BC，，再由三角形内角和可求，，进而可得．
【详解】
解：（1）、分别是与的角平分线，
，
，
，
（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，
7 / 211
学科网（北京）股份有限公司
由（1）得，
，
，
∴，
在与中，
，
∴（SAS）
∴，
∴，
∴，
∴
在与中，
，
，
，
，
；
∵，，
∴
8 / 211
学科网（北京）股份有限公司
（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，
，
∴，
在与中