专题十 圆的综合问题（55题140页）-简单数学之2022年中考二轮专题复习（解析版）（人教版）.docx

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专题十 圆的综合问题
一、非动态问题
例题1如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)求证：．
(3)若，，求的半径长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3
【解析】
【分析】
（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，以及，根据三线合一可得，进而可得是的中位线，根据，即可证明是的切线；
（2）根据是的切线，可得，结合，可得，又，，继而可得，根据，即可证明；
（3）根据，根据相似三角形的性质列出比例式代入数值可得的长，即可求得，然后求得半径长．
(1)如图，连接，
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为的直径，
，
即，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
(2)∵是的切线，
，
即，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
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(3)，
，
，，
，
，
的半径长．
【点睛】
本题考查了圆的直径所对的圆周角是直角，三线合一，三角形中位线的性质与判定，切线的判定与性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上是解题的关键．
练****题
1．在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．
(1)如图①，以点B为圆心，BC为半径作圆弧交AB于点M，连结CM，若∠ABC＝66°，求∠ACM；
(2)如图②，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，求证：AE＝EC；
(3)如图③，在（1）（2）的条件下，若tanA＝，求S△ADE：S△ACM的值．
【答案】(1)∠ACM＝33°
(2)证明见解析
(3)S△ADE：S△ACM＝
【解析】
【分析】
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（1）证明△BCM是等腰三角形，求出∠ACM＝∠BMC＝57°，由 ∠ACB＝90°，求得∠ACM；
（2）证明△EDO≌△ECO（SAS），则DE＝CE，得到∠A＝∠ADE，即可求解；
（3）设BC＝3x，AC＝4x，AB＝5x，则ED＝EC＝AC＝AE＝2x，由△AMH∽△ABC，得到S△ACM＝×AC×MH＝×4xx＝x2，同理可得：S△ADE＝AE•DI＝×2x×x＝ x2，即可求解．
(1)解：由题意知，BC＝BM，
∴△BCM是等腰三角形
∵∠ABC＝66°，
∴∠BMC＝∠BCM＝（180°－∠ABC）＝57°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM＝∠ACB﹣∠BCM＝90°﹣57°＝33°；
(2)解：如图④，连接OE，OD，
∵DE为圆O的切线，
∴∠EDO＝∠ECO＝90°，
∴△EDO与△ECO都是直角三角形
∵OE＝OE，OD＝OC，
∴△EDO≌△ECO（HL），
∴DE＝CE，
∵OD＝OB
∴∠BDO＝∠DBC
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∵∠BDO+∠ADE＝90°，∠DBC+∠A＝90°，
∴∠ADE＝∠A
∴AE＝DE，
∴AE＝CE；
(3)解：如图⑤，过M作MH⊥AC于点H，过D作DI⊥AC于点I，连接CD，
                           
∵ BC是⊙O的直径
∴∠BDC＝∠ADC＝90°
∵∠ACD+∠A＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB
∴tan∠DCB＝tan∠A＝，
设BC＝3x，AC＝4x，
则AB＝＝5x，
∵AE＝CE
∴点E为AC的中点
∴ ED＝EC＝AC＝AE＝2x，   
而AM＝AB﹣MB＝AB﹣BC＝5x﹣3x＝2x，
∵∠AHM＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A
∴ △AMH∽△ABC，
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∴
∴MH＝x，
则S△ACM＝×AC×MH＝×4x×x＝x2，
∵∠AID＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A
∴△ADI∽△ABC，
同理可得：DI＝x，   
则S△ADE＝AE•DI＝×2x×x＝x2，
所以S△ADE：S△ACM＝．
【点睛】
本题为圆的综合题，主要考查了圆的性质，相似三角形的判定和性质，切线的性质定理、勾股定理等知识，关键在于熟练应用定理和性质解决问题．
2．如图1，在Rt△ABC中，，以BC为直径的交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．
(1)求证：MH为的切线．
(2)若，，求的半径．
(3)如图2，在（2）的条件下分别过点A、B作的切线，两切线交于点D，AD与相切于点N，过N点作，垂足为E，且