人教版专题13 爪型问题的转化与构图探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc

专题十三：爪型问题的转化与构图探究
专题导例
如图1，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC ． 若点A，D，E在同一条直线上，ACB=20°，则∠ADC的度数是（    ）.
A. 55°    B. 60°      C. 65°       D. 70°
方法点睛
题目中遇到公共端点的三爪图时，旋转是它的克星，通过旋转把分散的条件（线段或角）整合在一个三角形内解决.旋转时明确旋转中心和旋转角.因此，当我们再遇到类似问题时，首先考虑旋转来解决.
问题：破解策略：共顶点引发的三条（多）条线段.
1、辅助圆的方法
2、旋转的方法
当三条线段不等时或题目隐含等边时，遇多少度旋转多少度，构造手拉手模型（全等或相似）来解决问题.
导例答案：C
典例剖析
类型一：辅助圆类
例1．以△ABC的边AB为底作等腰三角形OAB，且∠O=2∠C，AC与OB交于点D，若OB=a，OD=34a，则AD·DC= .
【分析】由∠O=2∠C，且都对应了边AB，考虑到同弧所对圆周角为圆心角的一半，因此构造一个以O以圆心，OB为半径的一个圆，从而来解决问题.
类型二:旋转全等类三爪图（由边导角，由角导边进行构造）
例2 .在等边三角形ABC中，P是三角形内部一动点.
若∠BEC=150°，求AP，BP，CP三边的数量关系；
若等边三角形的边长为2,且AP2=BP2+CP2，则P的运动路径是什么？并求其长度.
【分析】（1）将BP绕点A顺时针旋转60°到BP′,可得△BPP′为等边三角形，∴△ABP≌△CBP′.从而可得AP，BP，CP三边的数量关系
（2）结合（1）中所得的结论，由AP2=BP2+CP2，可得∠CPP′=90°，∴∠BPC=150°．∴点P在圆周角为150°的圆弧上运动，且圆弧所在圆的半径2，圆心角为60°，从而弧BC的长为23π.
专题突破
1.如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④MN的长度保持不变；⑤△PMN的周长保持不变；其中说法正确的是（　　）
A．①②⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．①②③
2．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝8，BC＝6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
3．如图，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内部，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，直接写出△APC的面积为　 　．
4.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为　 　．
5.如图，矩形ABCD中，AB=3BC，点P为矩形ABCD内一点，已知PA∶PC=2∶1，求∠APB的度数？
6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD．
（1）求证：AE=BD；（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=2CD
7.如图，△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°．连接BD，取BD中点F，连接CF，EF，CE．求证：△CEF为等腰直角三角形．
8.（2019年十堰市）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．
（1）填空：∠CDE＝　　（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若α＝90°，AC＝52，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．
9．（1）【操作发现】
如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝　 　度．
（2）【解决问题】
①如图2，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．
②如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，若PB＝1，PA＝3，∠BPC＝135°，则PC＝　 　．
（3）【拓展应用】
如