人教版专题13：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之和角平分线有关的辅助线-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）.doc

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专题13：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之和角平分线有关的辅助线
一、单选题
1．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE；④BA+BC=2BF．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
2．如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，中，，，垂足为，若，，则的长为（ ）
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A． B． C． D．4
二、填空题
4．如图所示，的外角的平分线CP与的平分线相交于点P，若，则_______．
5．（香坊名师原创）如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为_______．
6．如图，在中，、的角平分线相交于点，①若，则__________，②若，，则___________.
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7．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝50，∠CAP＝______．
8．如图，BP平分∠ABC，，E、F分别是角两边上点，现有四个结论知其一定能得其余结论的有①；②；③；④，_____.
三、解答题
9．如图所示，在四边形中，平分，求证：．
10．如图，ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
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（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
11．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，求的度数．
12．如图，在中，，、分别是、的平分线，、相交于点，试判断和之间的数量关系.
13．如图，已知 B (-1, 0) ， C (1, 0) ， A 为 y 轴正半轴上一点， AB = AC ，点 D 为第二象限一动点，E 在 BD 的延长线上， CD 交 AB 于 F ，且ÐBDC = ÐBAC .
（1）求证： ÐABD = ÐACD ；
（2）求证： AD 平分ÐCDE ；
（3）若在 D 点运动的过程中，始终有 DC = DA + DB ，在此过程中，ÐBAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出ÐBAC 的度数？
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14．如图，在中，，，平分，于，交于.求证：（1）；（2）.
15．如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点．
（1）若AB是⊙O的切线，求∠BMC；
（2）在（1）的条件下，若E，F分别是AB，AC上的两个动点，且ÐEDF=120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据SAS证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，结合∠BCD＝∠BDC可得①②正确；根据角的和差以及三角形外角的性质可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝EC，即可得③正确；过E作EG⊥BC于G点，证明Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF和AF＝CG，利用线段和差即可得到④正确．
【详解】
解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴在△ABD和△EBC中，，
∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正确；
③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA，
∴∠DCE＝∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
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∴AE＝EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC，
∴AD＝AE．③正确；
④过E作EG⊥BC于G点，
∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，
∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，，
∴Rt△B